理论力学两体问题.ppt

,第三章 两体问题,3.1 两体问题化为单粒子问题,这样，两体问题分解为两个单粒子问题。,3.2 有心力场中单粒子的运动,运动方程,运动定性讨论,讨论粒子在吸引势 U = - a / r3中的运动情况,解：粒子的有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3 曲线渐近行为 r ， Ueff 0； r 0， Ueff - 。 (2)曲线零点： Ueff = 0r = ro = 2ma/L2 (3)曲线极值： dUeff / dr = 0 r = rm = 3ma/L2 (Ueff )max = L6 / 54 m3 a2,3.3 与距离成反比的有心力场,吸引势：U(r) = - a / r 有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r r 0 ，Ueff + ； r ， Ueff 0。 (2)曲线极值：dUeff / dr = 0 r = rm = L2 / ma (Ueff )min = m a2 / 2L2 (3)曲线零点： Ueff = 0r = ro = L2 / 2ma,比耐公式轨道方程,比耐公式轨道方程,例：已知引力作用 F(r) = - GMm / r2 ro ， 求运行轨迹。 解：比耐公式 h2 u2 (d2u /d2 + u ) = GM/r2 = GMu2 d2u /d2 + u = / h2 (= GM ) 轨迹方程: u = 1 / r = C1 cos+ C2 sin+ / h2 齐次解 非齐次解 取近日点( r 极小值)的为零. r 极小值条件: dr/d= 0 , d2r /d2 0 . d(1/u)/d= - (1/u2) du/d=0 = (1/u2) ( C1 sin- C2 cos)=0 = 0 C2 = 0 r = ( C1 cos + / h2 ) -1 = p /( 1+ e cos),r = p /( 1+ e cos) 其中 p = h2 /(正焦弦长度一半), e = C1 h2 /(偏心率)。 这是一原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。,e 1 双曲线,抛物线,双曲线,椭圆,补充作业: 求 e 与能量 E 的关系， 即证明： 并讨论 E 与圆锥曲线型的关系.,3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性,轨道闭合与轨道稳定 轨道稳定的含义: 由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道ro变为 r 。若r 始终保持在ro附近作小振动，则称此种轨道是稳定的；反之，若随着时间增加，r 偏离ro 越来越大，则称此种轨道是不稳定的。,3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性,设粒子在势场U(Z)中的轨道为 u = uo， 轨道偏离： u = uo + （ 为小量）,3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性,若A=0， 随 ( 从而随 t ) 线性增加； 若A0， 随 t 线性增加。,轨道 不稳定,若A 0， 作简谐振动，轨道稳定。,轨道稳定条件：,讨 论,U = a / r，A = 1 0，轨道稳定。 U = - a / r3， A = 1 6ma / r L2 = 1 - 3 rm / r 轨道稳定条件 A 0 变为 r 3 rm (3) U = k r2，A = 1 + 6mk r4 / L2 0 轨道永远稳定条件。 圆形轨道稳定性条件为：(Ueff = L2 / 2mr2 + U) dUeff /dr = 0， dUeff /dr 0 3 dU/dr + d2U/dr2 0 或 - 3 F - dF/dr 0,3.6 粒子散射问题 设有心力场的力心在 O 点，由于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为 v ，瞄准距离为。,散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角 。,假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角到+d内的粒子数为 dN ，则定义散射的有效截面为 d= dN/n ， dN个粒子可能来自() 到() + d() 区间内的粒子。,假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角到+d内的粒子数为 dN ，则定义散射的有效截面为 d= dN/n ， dN个粒子可能来自() 到()+ d() 区间内的粒子，即 dN = 2nd，所以 d= 2d = 2d/ dd 到+ d对