高一数学函数的基本性质.ppt

第3节 函数的基本性质,考纲展示 1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性 2理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值 3会运用函数图象理解和讨论函数的性质,1单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数,2单调区间 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间,,完全免费,无需注册,天天更新！,提示：函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域内的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能说该函数在其定义域上是增函数(或减函数)，也不能将各个单调区间用“”连接，而应写成(，0)和(0，),3函数的最值 (1)函数的最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的xI，都有f(x)M； 存在x0I，使得f(x0)M. 那么，我们称M是函数yf(x)的最大值 (2)函数的最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： 对于任意的xI，都有f(x)N； 存在x0I，使得f(x0)N. 那么，我们称N是函数yf(x)的最小值,函数的最值是函数在其定义域上的一个整体性质，它与值域有着密切的关系函数的值域一定存在，但最值不一定存在，对于在一个闭区间上的连续函数f(x)来说，它一定有最小值m，也一定有最大值M，这时函数的值域是m，M,4函数的奇偶性 (1)偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图象关于y轴对称 (2)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图象关于原点对称,1若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是( B ) (A)(2，) (B)(，2) (C)(2，) (D)(，2),解析：由f(x)在R上递减知a0，所以g(x)在(，2)上递增，在(2，)上递减,4(2010年高考江苏卷)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_,解析：法一：由题意知，g(x)exaex为奇函数，又xR， g(0)0，即1a0，a1. 法二：由题意知f(1)f(1)， 即(e1ae)eae1，解得a1. 答案：1,审题指导：,(1)证明：法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)， 令xy0，得f(0)0. 利用赋值法，求得f(0)的值 再令yx，得f(x)f(x) 判断函数f(x)的奇偶性 在R上任取x1x2，则x1x20， 紧扣单调性定义，设出x1，x2，突出取值的任意性 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2) 又x0时，f(x)0，而x1x20， f(x1x2)0， 作差变形，进而判断出f(x1)f(x2)的符号 即f(x1)f(x2),(2)解：f(x)在R上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数， 判断出f(x)在3,3上的单调性 f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3) 而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. 由单调性判断最值并求出 f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2. 归纳小结，呈现结论,本题采用变量替换的方法，结合函数的奇偶性，建立了关于函数f(x)、g(x)的方程组，从而可求得f(x)与g(x)的解析式，然后再代入比较函数值的大小,变式探究21：(2010年高考广东卷)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则( ) (A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数,解析：f(x)与g(x)的定义域都是(，)，且f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3x(3x3x)g(x)，f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.,【例3】 (2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.,思路点拨：根据已知条件分析函数f(x)在8,8的单调性，对称性，画出图象进行求解 解析：f(x)为奇函数并且f(x4)f(x) f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)， 且f(x8)f(x4)f(x)，yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数， f(x)0,2上是增函数，f(x)在2,2上是增函数，在2,6上为减函数，据此可画出yf(x)的示意图象， 其图象也关于x6对称，,(1)奇函数在原点两侧具有相同单调性，而偶函数在原点两侧具有相反的单调性 (2)有关抽象函数涉及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质时，可考虑结合函数的图象特征，运用数形结合的思想方法求解,变式探究31：(2010年浙江省五校模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是( ) (A)(，1)(2，) (B)(1,2) (C)(2,1) (D)(，2)(1，),解析：当x0时，f(x)x22x为增函数， 又f(x)是定义在R上的奇函数， f(x)在R上为增函数 f(2a2)f(a)，2a2a， a2a20，2a1， 实数a的取值范围是(2,1)故选C.,求函数的最大(或最小)值常结合解析式的特点而选取适当的方法 (1)配方法：二次函数或可转化为二次函数型的函数可首先用此法； (2)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最 值一般在端点处取得； (3)基本不等式法：当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法； (4)导数法：当函数解析式较复杂(如指数、对数函数与多项式结合)时，可考虑用此法； (5)数形结合法，所给函数易画出其图象时，可结合图象求最值,【例1】 (2010年高考山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)等于( ) (A)3 (B)1 (C)1 (D)3,解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)0， 即20b0，b1，当x0时，f(x)2x2x1， f(1)f(1)(21211)3，故选D.,【例2】 (2011年辽宁大连市联考)已知函数f(x)是定义在区间a，a(a0)上的奇函数，若g(x)f(x)2，则g(x)的最大值与最小值之和为( ) (A)0 (B)2 (C)4 (D)不能确定,解析：设M是f(x)的最大值，则M是f(x)的最小值， g(x)maxg(x)minf(x)max2f(x)min24，故选C.,错源：不注意分段函数的特点,【选题明细表】,解析：由函数单调性定义知选C.,2(2011年安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值( A ) (A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为0 (D)可正可负,解析：f(0)0，f(x)在R上递增，f(1)f(0)0，故选A.,解析：由题意知f(x)为偶函数，所以f(2)f(2)，又x0，)时，f(x)为减函数，且321，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)，故选A.,4(2010年高考安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于( A ) (A)1 (B)1 (C)2 (D)2,解析：由f(x)是R上周期为5的奇函数知 f(3)f(2)f(2)2， f(4)f(1)f(1)1， f(3)f(4)1，故选A.,6(2010年安徽四市联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在区间3,5上单调递增，则函数f(x)在区间1,3上的( A ) (A)最大值是f(1)，最小值是f(3) (B)最大值是f(3)，最小值是f(1) (C)最大值是f(1)，最小值是f(2) (D)最大值是f(2)，最小值是f(3),解析：依题意知，f(x)的图象关于x1对称，且f(x1)f(x1)， f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的函数由此可知，f(x)在3，1和1,3上是减函数，f(x)在1,3上的最大值为f(1)，最小值是f(3)，故选A.,二、填空题,,三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友！,三、解答题 9已知函数f(x)x2(x0) (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性,10设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集为 ( A ) (A)(，3)(0,3) (B)(3,0)(0,3) (C)