2018_2019学年高中数学第三章推理与证明4反证法教案（含解析）北师大版.docx

4反证法反证法1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人都幸福，幸福的人都拥有”该广告词实际说明了什么？提示：说的是“不拥有的人不幸福”2已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证：a，b，c不可能都是奇数问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2b2c2吗？提示：a，b，c都是奇数此时不满足条件a2b2c2.1反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法2反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的2可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论用反证法证明否(肯)定式命题例1已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列思路点拨此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项精解详析假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20，即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列一点通(1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题1用反证法证明3.证明：假设3不成立，则3.平方得：2239，即2,64，这与实数的大小关系相矛盾，所以3.2已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数证明：假设a不是偶数，则a为奇数设a2m1(m为整数)，则a24m24m1.4(m2m)是偶数，4m24m1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾a一定是偶数.用反证法证明唯一性命题例2求证函数f(x)2x1有且只有一个零点思路点拨一般先证存在性，再用反证法证唯一性精解详析(1)存在性：因为2()10，所以为函数f(x)2x1的零点所以函数f(x)2x1至少存在一个零点(2)唯一性：假设函数f(x)2x1除外还有零点x0，则ff(x0)0.即212x01.x0，这与x0矛盾故假设不成立，即函数f(x)2x1除外没有零点综上所述，函数f(x)2x1有且只有一个零点一点通(1)结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了(2)“有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性3过平面上一点A，作直线a，求证：a是唯一的证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线b满足b.a，b是相交直线，a，b可以确定一个平面.设和相交于过点A的直线c.a，b，ac，bc，又abA，c.这与c矛盾故过点A垂直于平面的直线有且只有一条，即a是唯一的4用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行证明：假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.用反证法证明“至多”或“至少”类命题例3已知a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.思路点拨从结论的反面入手有时解决问题更简便精解详析假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0.这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.一点通(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个5设x，y都是正数，且xy2，试用反证法证明：2和2中至少有一个成立证明：假设2和2矛盾，假设不成立，即2和2中至少有一个成立6用反证法证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，则方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，不妨设，为其两个实根，且，则f()f()0.因为函数f(x)在区间a，b上是增函数，又，所以f()f()，这与假设f()f()0相矛盾所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的1命题“关于x的方程f(x)0有唯一解”的结论的否定是()A无解B两解C至少有两解 D无解或至少有两解答案：D2用反证法证明命题“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除 Da不能被5整除解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3下列命题错误的是()A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C闭区间a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点D设a，bZ，若a，b中至少有一个为奇数，则ab是奇数解析：选Dab为奇数a，b中有一个为奇数，另一个为偶数故D错误4设a，b，c为正实数，则3个数a，b，c中()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：选D若三个数都小于2，则abc180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：6和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是_解析：假设AC与BD共面于平面，则A，C，B，D都在平面内，AB，CD，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面答案：异面7如果非零实数a，b，c两两不相等，且2bac，证明：不成立证明：假设成立，则，故b2ac，又b，所以2ac，即(ac)20，ac.这与a，b，c两两不相等矛盾因此不成立8求证：不论x，y取任何非零实数，等式总不成立证明：设存在非零实数x，y，使得等式总成立则有，(xy)2xy，x2xyy20.因为x，y是非零实数，所以x2xyy220，这与x2xyy20矛盾所以，不论x，y取任何非零实数，等式总不成立9.如图所示，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线求证：点M不在线段CD上证明：假设点M在线段CD上，则BDBMCMCD.由已知，得AB2BD2AD2，AC2AD2CD2，AB2BD2AD2BM2AD2CD2AD2AC2，即AB2AC2，ABAC矛盾点M不在线段CD上一、归纳和类比1归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理2从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理二、数学证明1三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括大前提、小前提、结论在前提和推理形式都正确的前提下，结论就一定正确2合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础三、综合法与分析法1综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径2综合法是“由因导果”；分析法是“执果索