2018_2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教案（含解析）.docx

1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程：(1)x22x20，(2)x210.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？在实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解xi，但不是实数1复数的概念(1)虚数单位：把平方等于1的数用符号i表示，规定i21.我们把i叫作虚数单位(2)复数：把形如abi的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)复数通常表示为zabi(a，bR)(3)复数的实部与虚部：对于复数zabi，a与b分别叫作实部与虚部(4)复数的分类：复数abi(a，bR)2复数集复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.显然RC.复数的相等问题1：若a，b，c，dR且ac，bd，则复数abi和cdi相等吗？提示：相等问题2：若abicdi，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：ac，bd.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以问题2：复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量(a，b)有何对应关系？提示：一一对应问题4：复数zabi(a，bR)与有何对应关系？提示：一一对应1复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴2复数的几何意义(1)任一个复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的(2)一个复数zabi(a，bR)与复平面内的向量(a，b)是一一对应的3复数的模设复数zabi(a，bR)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.1注意复数的代数形式zabi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系复数的基本概念例1复数z(m23m2)(m2m2)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数思路点拨分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析(1)当m2m20，即m2或m1时，z为实数(2)当m2m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m2时，z为纯虚数一点通复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式zabi(a，bR)时应先转化形式(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a，bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数a0，b0，z0a0，且b0.1若(m23m4)(m25m6)i是纯虚数，则实数m的值为()A1B4C1或4 D不存在解析：选B由条件知，m4.2下列命题中：若aR，则(a1)i是纯虚数；若复数xyi(x，yR)是实数，则x0，y0；若a，bR，且ab，则aibi；若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等其中，正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B对于，若a1时，(a1)i为实数；对于，若xyi(x，yR)是实数，则y0；对于，因为ai和bi是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知正确.复数的相等例2(1)已知(2x1)iy(3y)i，x，yR，求x与y；(2)设z11sin icos ，z2(cos 2)i.若z1z2，求.思路点拨先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解精解详析(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则2k(kZ)一点通复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的3若ai2bi(a，bR)，i为虚数单位，则a2b2()A0 B2C. D5解析：选D由题意得则a2b25.4满足方程x22x3(9y26y1)i0的实数对(x，y)表示的点的个数是_解析：由题意知实数对(x，y)表示的点有，共有2个答案：2复数的几何意义例3实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点(1)位于第二象限；(2)位于直线yx上？思路点拨位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线yx上的点的横坐标等于纵坐标精解详析根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点就是点Z(a2a2，a23a2)(1)由点Z位于第二象限得解得2a，|z1|z2|.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.2复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，复数zabi(a，bR)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用图表示1以3i的虚部为实部，以3i2i的实部为虚部的复数是()A33iB3iCi D.i解析：选A3i的虚部为3,3i2i3i的实部为3，故z33i.2若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a的值为()A1 B1C1 D不存在解析：选C(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210，a1.3复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C复数z12i在复平面内对应的点为(1，2)，位于第三象限4已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是()A1个圆 B线段C2个点 D2个圆解析：选A由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|1应舍去，故应选A.5已知复数z15i，z25bi，且|z1|z2|，则实数b的值为_解析：|z1|z2| b21b1.答案：16已知复数zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，则k_.解析：z0，则zR，故虚部k25k60，(k2)(k3)0，k2或k3.但k3时，z0.故k2.答案：27已知zmi(mR)，若|z|a1(a2a2)i(aR)，求复数z.解：因为|z|0，所以解得a2，所以|z|1.所以1，解得m0，故zi.8已知复数z(m23m)(m2m6)i，当实数m为何值时，z是实数；z46i；z对应的点在第三象限？解：因为z(m23m)(m2m6)i，令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数m4.即m4时z46i.若z所对应的点在第三象限，则0m3.即0m3时z对应的点在第三象限9在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对