2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业（含解析）.docx

2.3.2平面与平面垂直的判定1.下列说法中,正确的是(B)(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.设m,n是不同的直线,是不同的平面,已知m,n,下列说法正确的是(B)(A)若mn,则(B)若mn,则(C)若mn,则(D)若mn,则解析:若mn,则与可以平行或相交,故A,C错误;若mn,则,D错,选B.3.如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是(C)(A)相等 (B)互补(C)相等或互补(D)不确定解析:可作出这两个二面角的平面角(图略),易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.故选C.4.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角PBCA的大小为(C)(A)60(B)30(C)45(D)15解析:易得BC平面PAC,所以PCA是二面角PBCA的平面角,在RtPAC中,PA=AC,所以PCA=45.故选C.5.如图所示,已知PA矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有(D)(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:由PA矩形ABCD知,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD;由AB平面PAD知,平面PAB平面PAD;由BC平面PAB知,平面PBC平面PAB;由DC平面PAD知,平面PDC平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.6.如图所示,在ABC中,ADBC,ABD的面积是ACD的面积的2倍.沿AD将ABC翻折,使翻折后BC平面ACD,此时二面角BADC的大小为(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在RtBCD中,BDC=60,而ADBD,CDAD,故BDC是二面角BADC的平面角,其大小为60.故选C.7.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是(C)动点A在平面ABC上的射影在线段AF上BC平面ADE三棱锥AFED的体积有最大值(A) (B) (C) (D)解析:中由已知可得平面AFG平面ABC,故点A在平面ABC上的射影在线段AF上.因为BCDE,根据线面平行的判定定理可得BC平面ADE.当平面ADE平面ABC时,三棱锥AFDE的体积达到最大.故选C.8.如图,已知AB平面BCD,BCCD,则图中互相垂直的平面共有对.解析:因为AB平面BCD,所以平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD,ABCD.因为BCCD,所以DC平面ABC,所以平面ACD平面ABC.所以共有3对互相垂直的平面.答案:39.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则折叠后BC=.解析:因为在原ABC中,ADBC,所以折叠后有ADBD,ADCD,所以BDC是二面角BADC的平面角.因为平面ABD平面ACD,所以BDC=90.在RtBCD中,BDC=90,BD=CD=,所以BC=1.答案:110.正方体ABCDA1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于.解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCDA1B1C1D1为正方体,所以AOBD,又AA1平面ABCD,所以AA1BD,又AOAA1=A,所以BD平面A1AO,所以BDA1O,所以A1OA为二面角A1BDA的平面角,设正方体的棱长为a,在直角A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tanA1OA=.答案:11.已知m,l是直线,是平面,给出下列命题:若l垂直于平面内两条相交直线,则l;若l,则l平行于内所有直线;若m,l,且lm,则;若l,且l,则;若m,l,且,则ml.其中正确的是.解析:是线面垂直、面面垂直的判定定理,故均正确.l,则l与内的直线可能平行,也可能异面,故错误.两个平面平行时,分别在两平面内存在相互垂直的直线,故错误.两个平面平行,分别在两个平面内的直线有可能是异面直线,故错误.答案:12.如图所示,=CD,P为二面角内部一点.PA,PB,垂足分别为A,B.(1)证明:ABCD;(2)若PAB为等边三角形,求二面角CD的大小.(1)证明:因为所以CD平面PAB,所以ABCD.(2)解:如图所示,设平面PABCD=O,则由(1)可知,OBCD,OACD,从而BOA是二面角CD的平面角.因为PAOA,PBOB,所以AOB+APB=180.因为PAB为等边三角形,所以APB=60.故二面角CD的平面角为120.13.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1,AC1平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求证:B1C1平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1CMD.又B1C平面A1BD,MD平面A1BD,所以B1C平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1BAB1.又因为AC1平面A1BD,所以AC1A1B.所以A1B平面AB1C1,所以A1BB1C1.又在棱柱ABCA1B1C1中BB1B1C1,所以B1C1平面ABB1A1.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD平面BDE,因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DEAC1.因为AC1平面A1BD,所以DE平面A1BD.又DE平面BDE,所以平面A1BD平面BDE.14.(2017浙江金华十校联考)如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1A1C,求二面角A1CDC1的平面角的余弦值.解:(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CDAB,又CDAA1,故CD平面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD=.(2)如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1AA1CC1.又由(1)知CD平面A1ABB1,故CDA1D,CDDD1,所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角.因为CD平面A1ABB1,AB1平面A1ABB1,所以AB1CD,又AB1A1C,A1CCD=C,所以AB1平面A1CD,故AB1A1D,从而A1AB1,A1DA都与B1AB互余,因此A1AB1=A1DA,所以RtA1ADRtB1A1A.因此=,即A1A2=ADA1B1=8,得A1A=2.从而A1D=2.所以,在RtA1D1D中,cosA1DD1=.15.在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是(C)(A)BC平面PDF (B)DF平面PAE(C)平面PDF平面ABC (D)平面PAE平面ABC解析:可画出对应图形,如图所示,则BCDF.又DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,故A成立.由AEBC,PEBC,BCDF,知DFAE,DFPE,所以DF平面PAE,故B成立.又DF平面ABC,所以平面ABC平面PAE,故D成立.故选C.16.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,则下列结论中错误的是(D)(A)D1O平面A1BC1(B)MO平面A1BC1(C)异面直线BC1与AC所成的角等于60(D)二面角MACB等于90解:对于选项A,连接B1D1,交A1C1于E,连接BO,则四边形D1OBE为平行四边形,所以D1OBE,因为D1O平面A1BC1,BE平面A1BC1,所以D1O平面A1BC1,故正确;对于选项B,连接B1D,因为O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,所以MOB1D,易证B1D平面A1BC1,所以MO平面A1BC1,故正确;对于选项C,因为ACA1C1,所以A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为A1C1B为等边三角形,所以A1C1B=60,故正确;对于选项D,因为BOAC,MOAC,所以MOB为二面角MACB的平面角,显然不等于90,故不正确.综上知,选D.17.如图,二面角l的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值为.解析:如图,过点A作平面的垂线,垂足为C,在平面内过C作l的垂线,垂足为D,连接AD.由线面垂直的判定定理,可知l平面ACD,则lAD,故ADC为二面角l的平面角,即ADC=60.连接CB,显然,ABC为AB与平面所成的角.设AD=2,则AC=,AB=4,故sinABC=.答案:18.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:DMPC.连接AC,则ACBD.因为PA底面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.因为PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(答案不唯一)19.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,ACBD=O.将三角形ABD沿BD折起,得到三棱锥ABCD.(1)求证:平面AOC平面BCD,(2)若三棱锥ABCD的体积为,求AC的长.(1)证明:折叠前,因为四边形ABCD是正方形,所以BDAO,BDCO.在折叠后的ABD和BCD中,仍有BDAO,BDCO.因为AOCO=O,AO平面AOC,CO平面AOC,所以BD平面AOC.因为BD平面BCD,所以平面AOC平面BCD.(2)解:设三棱锥ABCD的高为h,由于三棱锥ABCD的体积为,所以SBCDh=.因为SBCD=BCCD=22=2,所以h=AO=.以下分两种情形求AC的长.当AOC为钝角时,如图,过点A作CO的垂线AH交CO的延长线于点H,由(1)知BD平面AOC,所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AH为三棱锥ABCD的高,即AH=.在