2018_2019学年高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法教案（含解析）北师大版.docx

2综合法与分析法 综合法阅读下面的例题例：若实数a，b满足ab2，证明：2a2b4.证明：因为ab2，所以2a2b2224，故2a2b4成立问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说福尔摩斯探案集吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据问题1：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件问题3：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这种证明问题的思维方法称为分析法(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：得到一个明显成立的条件1综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件它的证明格式为：因为，所以，所以所以成立2分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件它的证明格式：要证，只需证，只需证因为成立，所以成立综合法的应用例1设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比为qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求证：为等差数列思路点拨解题的关键是利用等差、等比数列的定义进行证明精解详析(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减，得(3m)an12man，(m3)，又m为常数，an为等比数列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，又m3，a11，b1a11，由(1)，可得qf(m)(m3)，nN且n2时，bnf(bn1)，bnbn13bn3bn1，又易知bn0，.数列是首项为1，公差为的等差数列一点通综合法的解题步骤1已知x0，y0，xy1，求证：9.证明：因为xy1，所以52.又因为x0，y0，所以0，0.所以2，当且仅当，即xy时取等号则有5229成立2已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论解：f(a)f(c)2f(b)证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2(x2)是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b).分析法的应用例2当ab0时，求证： (ab)思路点拨条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式精解详析要证 (ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以(ab)成立一点通分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语3已知ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角证明：要证B为锐角，根据余弦定理，只需证明cos B0，即证a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要证a2c2b20，只需证2acb20.a，b，c的倒数成等差数列，即2acb(ac)要证2acb20，只需证b(ac)b20，即b(acb)0，上述不等式显然成立，B为锐角4若a，b，c是不相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.证明：要证lg lg lg lg alg blg c，只需证lglg(abc)，只需证abc.由于0，0，0，且上述三式中的等号不全成立，所以abc.因此lg lg lg lg alg blg c.综合法和分析法的应用例3已知0a1,0b1,00，b0，c0.要证1，只需证1abbccaabcabc，即证1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即1.一点通综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证5已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：.证明：法一：要证，即证3，即证1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命题得证法二：ABC三个内角A，B，C成等差数列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2，c2a2bcabacb2bcab，即c(bc)a(ab)(ab)(bc)，等式两边同除以(ab)(bc)，得1.113，即3，.6证明函数f(x)log2(x)是奇函数证明：|x|，x0恒成立，f(x)log2(x)的定义域为R，要证函数ylog2(x)是奇函数，只需证f(x)f(x)，只需证log2(x)log2(x)0，只需证log2(x)(x)0，(x)(x)x21x21，而log210.上式成立故函数f(x)log2(x)是奇函数分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程1要证明(a0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A综合法B类比法C分析法 D归纳法解析：选C直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理2命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2 ”，其过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法解析：选B结合分析法及综合法的定义可知B正确3用分析法证明命题“已知ab1.求证：a2b22a4b30.”最后要具备的等式为()Aab Bab1Cab3 Dab1解析：选D要证a2b22a4b30，即证a22a1b24b4，即(a1)2(b2)2，即证|a1|b2|，即证a1b2或a1b2，故ab1或ab3，而ab1为已知条件，也是使等式成立的充分条件4已知a，b为正实数，函数f(x)x，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析：选A因为函数f(x)x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，的大小，因为，两边同乘得：ab，即，故，ABC.5.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)解析：要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可答案：对角线互相垂直(本题答案不唯一)6如果abab，则正数a，b应满足的条件是_解析：ab(ab)a()b()()(ab)()2()只要ab，就有abab.答案：ab7阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，由得sin()sin()2sin cos ，令A，B，有，代入得sin Asin B2sin cos .类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos Acos B2sin sin .证明：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，得cos()cos()2sin sin .令A，B，有，代入得cos Acos B2sin sin .8在