2018_2019学年高中数学第一章推理与证明4数学归纳法教案（含解析）北师大版.docx

4 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题数学归纳法及其基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立；(2)在假设当nk(kN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立1数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明2应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明nk1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法 用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：1(nN)思路点拨运用数学归纳法由nk到nk1，等式左边增加了两项结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可精解详析(1)当n1时，左边1，右边.左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)和(2)可知，对一切正整数n等式都成立一点通用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中nN)证明：(1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立2用数学归纳法证明：当nN时，132333n3.证明：(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(kN)时，等式成立，即132333k3.那么，当nk1时，有132333k3(k1)3(k1)3(k1)2(k1)2.即当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对任何nN等式都成立.用数学归纳法证明不等式例2求证：(n2，nN)思路点拨在由nk到nk1的推证过程中可考虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一精解详析(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时不等式成立，即，则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立一点通用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点关键点一验证第1个n的取值时，要注意 n0不一定为1，若条件为nk，则n0k1关键点二证明不等式的第二步中，从 nk到nk1 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”关键点三应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明nk1 时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程关键点四证明nk1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小”3已知nN，n2，求证：1 .证明：(1)当n3时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(kN，k3)时，不等式成立，即1.当nk1时，1 .因为 ，所以1 .所以当nk1时，不等式也成立由(1)、(2)知对一切nN，n2，不等式恒成立4用数学归纳法证明：当nN时，12232nn(n1)n.证明：(1)当n1时，左边1，右边2,12，不等式成立(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即12233kk(k1)k，那么，当nk1时，左边122233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右边，即左边n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0()A1 B3C5 D7解析：选Cn的取值与2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4，即n5时，恒有2nn2.3设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)k1 Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k Df(k1)f(k)k2解析：选C当nk1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而nk1时交点的个数是f(k)kf(k1)4用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk到nk1时，不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加，减少D增加，减少解析：选C当nk时，不等式的左边，当nk1时，不等式的左边，又，所以由nk到nk1时，不等式的左边增加，减少.5用数学归纳法证明12222n12n1(nN)的过程如下：当n1时，左边1，右边2111，等式成立假设当nk时，等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11，所以，当nk1时等式成立由此可知，对任何nN，等式都成立上述证明的错误是_解析：当nk1时正确的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假设答案：没有用上归纳假设进行递推6用数学归纳法证明，推证当nk1时等式也成立时，只需证明等式_成立即可解析：当nk1时，故只需证明即可答案：7数列an满足an0(nN)，Sn为数列an的前n项和，并且满足Sn，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明解：由an0，得Sn0，由a1S1，整理得a1，取正根得a11，所以S11.由S2及a2S2S1S21，得S2，整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，上面已求出S11，结论成立(2)假设当nk(kN)时，结论成立，即Sk.那么，当nk1时，Sk1.整理得Sk1，取正根得Sk1.即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可知，对任意nN，Sn都成立8用数学归纳法证明11n(nN)解：(1)当n1时，左式1，右式1，且1，命题成立(2)假设当nk(nN)时，命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN都成立一、归纳和类比1归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理2从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理二、直接证明和间接证明1直接证明包括综合法和分析法(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决2间接证明主要是反证法反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分