2018_2019学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程讲义含解析新人教A版选修.docx

2圆的参数方程圆的参数方程(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是，点M的坐标是(x，y)，那么t(为角速度)设|OM|r，那么由三角函数定义，有cos t，sin t，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 (2)若取为参数，因为t，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(为参数)其中参数的几何意义是：OM0(M0为t0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(02)求圆的参数方程例1根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为r的圆的参数方程(1)在y轴左侧的半圆(不包括y轴上的点)；(2)在第四象限的圆弧解(1)由题意，圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为(0,2)，在y轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即xrcos 0，所以有，故其参数方程为.(2)由题意，得解得2.故在第四象限的圆弧的参数方程为.(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视的范围而致误(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程1已知圆的方程为x2y22x，写出它的参数方程解：x2y22x的标准方程为(x1)2y21，设x1cos ，ysin ，则参数方程为(02)2已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：设中点M(x，y)则即(为参数)这就是所求的轨迹方程它是以(1,0)为圆心，为半径的圆.圆的参数方程的应用例2若x，y满足(x1)2(y2)24，求2xy的最值思路点拨(x1)2(y2)24表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2xy的最值转化为求三角函数最值问题解令x12cos ，y22sin ，则有x2cos 1，y2sin 2，故2xy4cos 22sin 24cos 2sin 2sin()，22xy2，即2xy的最大值为2，最小值为2.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题3已知圆C与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围解：将圆C的方程代入直线方程，得cos 1sin a0，即a1(sin cos )1sin.1sin1，1a1.故实数a的取值范围为1，1一、选择题1已知圆的参数方程为(为参数)，则圆的圆心坐标为()A(0,2)B(0，2)C(2,0) D(2,0)解析：选D将化为(x2)2y24，其圆心坐标为(2,0)2已知圆的参数方程为(为参数)，则圆心到直线yx3的距离为()A1 B.C2 D2解析：选B圆的参数方程(为参数)化成普通方程为(x1)2y22，圆心(1,0)到直线yx3的距离d，故选B.3若直线yaxb经过第二、三、四象限，则圆(为参数)的圆心在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限解析：选B根据题意，若直线yaxb经过第二、三、四象限，则有a0，b0.圆的参数方程为(为参数)，圆心坐标为(a，b)，又由a0，b0，得该圆的圆心在第三象限，故选B.4P(x，y)是曲线(为参数)上任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A36 B6C26 D25解析：选A设P(2cos ，sin )，代入得，(2cos 5)2(sin 4)225sin2cos26cos 8sin 2610sin()，所以其最大值为36.二、填空题5x1与圆x2y24的交点坐标是_解析：圆x2y24的参数方程为(为参数)令2cos 1，得cos ，sin .交点坐标为(1，)和(1，)答案：(1，)，(1，)6曲线(为参数)与直线xy10相交于A，B两点，则|AB|_.解析：根据题意，曲线(为参数)的普通方程为x2(y1)21，表示圆心坐标为(0,1)，半径r1的圆，而直线的方程为xy10，易知圆心在直线上，则AB为圆的直径，故|AB|2r2.答案：27在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为sin 1，圆C的参数方程为(为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长为_解析：直线l的极坐标方程为sin1，展开可得sin cos 1，化为直角坐标方程为xy20，圆C的参数方程(为参数)化为普通方程为(x2)2(y)24，可得圆心坐标为(2，)，半径r2.圆心C到直线l的距离d.直线l与圆C相交所得弦长22 .答案：三、解答题8将参数方程(t为参数，0t)化为普通方程，并说明方程表示的曲线解：因为0t，所以3x5，2y2.因为所以(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16，所以曲线的普通方程为(x1)2(y2)216(3x5，2y2)它表示的曲线是以点(1，2)为圆心，4为半径的上半圆9在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.10在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B.(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值解：(1)O(0,0)，A，B对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2y22x2