2018_2019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程讲义含解析.docx

23.1双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)问题1：若动点M满足|MAMB|4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：1.问题2：若动点M满足|MCMD|4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：1. 双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系c2a2b21双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1.2在双曲线中，a0且b0，但a与b的大小关系不确定3在双曲线中a、b、c满足c2a2b2，与椭圆不同用待定系数法求双曲线方程例1已知双曲线过点P(，)，Q两点，求双曲线的标准方程思路点拨解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，P(，)，Q两点在双曲线上解得即a21，b23，所求双曲线的标准方程为x21.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，P(，)，Q 两点在双曲线上，解得(不符合题意，舍去)综上：所求双曲线的标准方程为x21.法二：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，因为双曲线过两点P(，)，Q，得解得所以所求双曲线的标准方程为x21.一点通用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解：(1)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中05.所以实数m的取值范围是(5，)一点通给出方程1(mn0)，当mn0时，方程表示双曲线，当时，表示焦点在x轴上的双曲线；当时，表示焦点在y轴上的双曲线3k9是方程1表示双曲线的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：1表示双曲线的充要条件是(9k)(k4)0，即k9或k4.因为k9是k9或k4的充分不必要条件即k9是方程1表示双曲线的充分不必要条件答案：充分不必要4若方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_解析：若表示焦点在x轴上的双曲线，则3m2.若该方程表示双曲线，则(2m)(|m|3)0.解得3m3.答案：(3,2)(3,2)(3，)双曲线的定义及其标准方程的应用例3已知F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1PF232，试求F1PF2的面积思路点拨本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得F1PF2的大小由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果精解详析双曲线的标准方程为1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF2PF1|2a6，将此式两边平方，得PFPF2PF1PF236，PFPF362PF1PF236232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2PF1PF23216.一点通在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF1PF2|2a，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF1、PF2、F1F2的方程，解方程组可求得PF1、PF2或PF1PF2，再解决相关问题5已知双曲线1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2y216相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则MNMO_.解析：如图，设F是双曲线的右焦点，连接PF，因为M，O分别是FP，FF的中点，所以MOPF，又FN5，由双曲线的定义知PFPF8，故MNMOPFMFFN(PFPF)FN851.答案：16如图所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：圆F1：(x5)2y21，圆F2：(x5)2y242，F1(5,0)，半径r11；F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则MF1R1，MF2R4，MF2MF13F1F210.动圆圆心M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a，c5.b225.动圆圆心M的轨迹方程为1(x)1用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组对应课时跟踪训练(十) 1双曲线1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为_解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF111，根据双曲线的定义知|PF1PF2|2a10，PF21或PF221，而F1F214，当PF21时，11114(舍去)，PF221.答案：212已知点F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是PF1F2的内心，且SIPF 2SIPF1SIF1F2，则_.解析：设PF1F2内切圆的半径为r，则由SIPF 2SIPF 1SIF 1F 2PF2rPF1rF1F2r PF1PF2F1F2，根据双曲线的标准方程知2a2c，.答案：3若方程1(kR)表示双曲线，则k的范围是_解析：依题意可知：(k3)(k3)0，求得3k3.答案：3k0，且焦点在x轴上，根据题意知4a2a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)故实数a1.答案：15已知双曲线的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足0，|2，则该双曲线的方程是_解析：0，.|2|240.(|)2|22|2402236.|62a，a3.又c，b2c2a21，双曲线方程为y21.答案：y216求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；(2)过点P1(3，4 )，P2(，5)解：(1)因为椭圆1的长轴端点为A1(5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(5,0)，F2(5,0)由双曲线的定义知，|PF1PF2| 8，即2a8，则a4.又c5，所以b2c2a29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为Ax2By21(AB0)，分别将点P1(3，4 )，P2(，5)代入，得解得故所求双曲线的标准方程为1.7设F1，F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2120.求F1PF2的面积解：由已知得a2，b1；c ，由余弦定理得：F1FPFPF2PF1PF2cos 120即(2 )2(PF1PF2)23PF1PF2|PF1PF2|4.PF1PF2.SF1PF2PF1PF2sin 120.8. 如图，在ABC中，已知|AB|4 ，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解： 以AB边