高等数学无穷小与无穷大.ppt

第四节 无穷小与无穷大,本节概要,无穷小是微积分中非常重要的概念，这是 因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函 数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上 讲，微积分也可称作无穷小分析。 无穷大概念由于其和无穷小概念有着密 切 联系，因而也在微积分讨论中起着重要作用。,(1) 无穷小的概念,无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极 限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算 规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微 积的讨论中有着特殊重要作用。 无穷小概念与自变量的一定 变化趋势相对应，以下就两种主 要的情形给出无穷小的定义。,(2) 无穷小的定义,如果 x x 0 时，函数 ( x )的极限为 0 ，那么( x ) 叫做 x x 0 时的无穷小。 如果 x 时，函数 ( x )的极限为 0 ，那么( x ) 叫做 x 时的无穷小。 如果 n 时，数列 x n 的极限为 0，那么 x n 叫做 n 时的无穷小。,(3) 无穷小举例,因为 ，故函数 f( x )= sin x 是 x 0 时 的无穷小。 因为 ，故函数 f( x )= a - x 是 x + 时 的无穷小。 因为当| q | 1 时， 故数列 q n (| q | 1 ) 是 n 时的无穷小。 因为 l i m 0 = 0，故常数 0 是无穷小。,例：根据定义证明：当 x 3 时， 是无穷小。 按定义证明当 x 3 时，给定函 数是无穷小，就是对任意给定的正数 ， 要设法说明存在正数 ，使得当 0 | x - 3| 时有 要说明这样的 存在，最直接的办 法就是将 找出来。为确定 的值，关 键是导出关系式,因为 故对任意给定的正数 ，要使 取 = ，则当 0 | x - 3| 时有 由无穷小的定义：当 x 3 时， 是无穷小。,无穷小的重要性在于它与函数极限有着密切关系， 这种关系对函数极限的讨论具有重要意义。同时，无穷 小又具有简单的运算性质，利用这些性质可方便地讨论 函数极限的运算性质。 在自变量的某个变化过程中，函数 f( x )有极限 A 的充分必要条件是 f( x )= A + ( x )，其中( x )是同一 变化过程中的无穷小。,(1) 无穷小与函数极限的关系,就 x x 0 的情形证明。 设 ，要证 f( x )= A + ( x )，其中 因为 ，故对 0，存在 0，使得 当 0 | x - x 0| 时，| f( x )- A | . 令：( x )=| f( x )- A |，则由极限定义有 且有 f( x )= A + ( x )., 必要性, 充分性,设 f( x )= A + ( x )， ，要证 由条件有 | f( x )- A|= | ( x )|. 因为 故由无穷小的定义知： 对 0，存在 0，使得当 0 | x - x 0| 时有 | f( x )- A|= | ( x )| . 由极限定义知,(2) 无穷小的代数运算性质,以三个无穷小的情形为例，定理可叙述为： 在自变量的某个变化过程中，若 lim ( x )= 0，lim ( x )= 0，lim ( x )= 0， 则 lim( x ) ( x ) ( x )= 0 . 此处的无穷小之和实际是代数和，按归纳法原 理，为证有限个无穷小的代数和仍是无穷小，只需证明 两个无穷小的代数和是无穷小。 为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。,证明 x x 0 时的情形。 设 由极限定义，对 0，存在 1 , 2 , 3 0，使得 当 0 | x - x 0 | 1 时，| ( x )| /3； 当 0 | x - x 0 | 2 时，| ( x )| /3； 当 0 | x - x 0 | 3 时，| ( x )| /3 . 取 = Min 1 , 2 , 3 ，则当 0 | x - x 0 | 时有 | ( x )( x )( x )|( x )|+| ( x )|+| ( x )| /3+ /3 + /3 = . 由极限定义有,按归纳法原理，由两个无穷小的和是无穷小就可 推广到有限个无穷小的和也是无穷小，但不能推广到 无穷的情形，即无穷多个无穷小的和未必是无穷小。 反例：设 ，则对每个 k 有 记： ，则有 故无穷多个无穷小的和未必是无穷小。,函数的有界性概念是对数集而言的，对给定函数， 按所对应的数集的不同有相应不同的有界性意义，因而 对于给定无穷小的不同形式，定理意义也相应不同。 若 ( x )当 x x 0 时为无穷小，u( x )在 x = x 0 的邻 域内有界，则 u( x )( x )当 x x 0 时为无穷小。 若 ( x )当 x 时为无穷小，u( x )当| x |大于某 正数 X 时有界，则 u( x )( x )当 x 时为无穷小。,x x 0 时的情形,x 时的情形,函数在区间( a ,b )内有界,函数在点 x 0 邻域内有界,函数当 x 的时有界,若 ( x )当 x x 0 时为无穷小，u( x )在 x = x 0 的邻域 内有界，则 u( x )( x )当 x x 0 时为无穷小。,设 u( x )在 x = x 0 的某邻域内有界， 要证 因为 u( x )在 x 0 的某邻域内有界，由相应有界性 定义，存在 M、 1 0，使得当 0 0，存在 2 0，使 得当 0 | x - x 0 | 2 时， 取 = Min 1, 2 ，则当 0 | x - x 0 | 时有 即有,若 ( x )当 x 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )( x )当 x 时为无穷小。,例：证明函数 是 x 0 时的无穷小。 因为 函数 在点 x 0 = 0 的邻域内有界。 由为无穷小性质知， 函数 当 x 0 时为无穷小。,例：证明函数 是 x 时的无穷小。 因为 u( x )=arctan x 2 即 u( x )= arctan x 有界。 由为无穷小性质知， 函数 当 x 时为无穷小。,由于常数是自变量任意趋向下的有界函数，因此常 数与无穷小的乘积是对应于该无穷小的自变量趋向下的 无穷小。 由于无穷小总是自变量一定趋向下的有界函数，因 此两个无穷小的乘积是无穷小。由归纳法原理，有限个 无穷小的乘积也是无穷小。 需注意的是，推论 2 只能推广到有限个无穷小的情 形，即无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小。,例：两个无穷小的商是否一定是无穷小？试举例说明。 两个无穷小的商就是在自变 量的同一趋向下的两个无穷小之比。 由无穷小的性质知，常数与无穷小的 乘积是无穷小。因此，只要两个无穷 小成比例，且比值不为零，即 lim( x )= 0， lim ( x )= 0， ( x )/( x )= k， 则两个无穷小的商就不会是无穷小。 由此可推断，两个无穷小的商不一定是无穷小。,例：考虑极限 因为 由此可以推断应有 并考虑用定义证之。 对任意给定的正数 ，要使 只需取 = ，则当 0 | x - 3| 时有 由极限的定义知,(1) 无穷大的概念,函数只有当极限存在时讨论其极限才有意义，因此 人们通常关注的是函数极限存在的情形。然而，有一类 极限不存在的情形也受到人们的特别关注，这就是函数 趋于无穷的情形。在此情形下， 函数极限虽不存在，但却具有和 存在极限时类似的性质。此外， 这种函数值趋于无穷的变化趋势 还和无穷小有着密切的联系。,(2) 无穷大的定义,设函数 f( x )在点 x 0 的某一去心邻域内有定义， 如果对于任意给定的正数 M (无论它多么大)，总存 在正数 ，使得对于适合不等式 0 M ， 那么就称函数 f( x )当 x x 0 时为无 穷大，记作：,x x 0 时的无穷大,设函数 f( x )在 | x |大于某正数时有定义，如果对 任意给定的正数 M (无论它多么大)，总存在正数 X ， 使得对于适合不等式 | x | X 的一切 x ，对应的函数值 f( x )都满足不等式 | f( x )| M ， 那么就称函数 f( x )当 x 时 为无穷大，记作：,x 时的无穷大,例：根据定义证明：当 x 0 时， 是无穷大。 又问， x 只要满足什么条件，就能使 y 10 4 ？ 按定义证明当 x 0 时，给定函 数是无穷大，就是对任意给定的正数 M ， 要设法说明存在正数 ，使得当 0 | x - 0 |= | x | 时有 要说明这样的 存在，最直接的办法就是将 找出 来。由于式子 是随 x 的变化而变化的，故 可考虑从所证式子 出发确定 .,因为 故对任意给定的正数 M，要使 ，则当 0 | x - 0 | 时有 由无穷大的定义：当 x 0 时， 是无穷大。, 证给定函数当 x 0 时为无穷大, 对 M = 10 4 求相应 的值,由上讨论，对给定的正数 M = 10 4，取 则当 时有,C. P. U. Math. Dept. 杨访,无穷大与无界函数都对应于函数 y = f( x )的函数值 变化可无限增大的情形，但二者在概念上却是不同的。 为弄清这两个概念的区别与联系，将 x x 0 时的无穷 大量与在点 x 0 的邻域内的无界函数的定义重述如下： 对 M 0，存在 0，使得对满足 x U( x 0, ) 的一切 x 有| f( x )| M . 对 M 0 及 0，总存在一个 x * U( x 0 , ) 使得 | f( x * )| M .,无穷大与无界函数的区别和联系,x x 0 时的无穷大,点 x 0 的邻域的无界函数,x x 0 时 f( x )为无穷大,U( x 0, )内g( x )为无穷大,无穷大量必为无界函数，而无界函数未必是无穷大. 数列 x n 为无穷大 x n 的任何子列 x n k 都以 为极限。 数列 x n 无界 x n 存在趋于无穷的子列 x n k .,例：证明数列 x n = n(-1)n 无界，但不是无穷大量。 为论证本例的两个命题首先应理解数列无界与 数列趋于无穷的区别。 所谓数列 x n 无界就是对任意的 Mi 0，一定存在 该数列中的某一项 x i ，使得 x i Mi . 显然，这一点是 不难说明的。因此，关键的问题是说明该数列不是无穷 大，即当n 时，不会有 x n . 要说明不会有 x n ，就是要说明随着n 的不断增 大，该数列的某些项 x j 始终不会变得“很大”。 由上分析，要证明本例的两个命题，只需设法找出 其一个趋于无穷的子数列和一个趋于有限值的子数列。,取给定数列 x n = n(-1)n 的偶数项构成子数列 x 2k =( 2k )(-1)2k = 2k . 易看出，当 k 时，x 2k = 2k ，故原数列 x n = n(-1)n 无界。 再取给定数列的奇数项构成子数列 x 2k- 1 =( 2k- 1 )(-1)2k- 1 = 1/( 2k- 1 ). 易看出，当 k 时，x 2k - 1 = 1/( 2k- 1 ) 0 ， 故原数列 x n = n(-1)n 不可能是无穷大。,无穷大是极限不存在的特殊形式,记号 并不表示当 x 时，f ( x )的极 限存在，而是极限不存在的一种特殊形式。之所以采用 这种记法，其原因是无穷大量虽不能趋于一个确定的数, 但却有确定的变化趋势，此时它具有和函数极限存在的 情形相类似的性质。 从几何上看，若 ，则当 x x 0 时，函 数 y = f( x )图形向直线 x = x 0 不断靠近，故此时称直线 x = x 0 称为函数 y = f ( x )的图形的一条铅直渐近线。,x x 0 时无穷大量的几何特征 铅直渐近线,铅直渐近线 x = x 0,无穷大的重要性除了它是一种极限不存在的特殊形 式外，还在于它与无穷小有着密切的联系，这种联系对 函数极限的讨论和计算有重要作用。 在自变量的同一变化过程中，如果 f( x )为无穷大, 则 为无穷小； 反之，如果 f( x )为无穷小，且 f( x ) 0，则 为无穷大。,证明 x x 0 时的情形。 设 要证 当 x x 0 时为无穷小。 对 0，由无穷大定义，对 存在 0， 使得当 0 | x - x 0 | 时有 所以 当 x x 0 时为无穷小。, 无穷大的倒数为无穷小, 非零