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9 关于实数的连续性 与完备性的进一步 讨论,单调有 界定理,确 界 定 理,闭区间 套定理,有限覆 盖定理,列紧性 定 理,Cauchy 收敛定理,等价定理可相互证明,定义9.1 （集合的聚点）,则称 为 的聚点.,等价的叙述:,都含有 中无穷多个点，则称 为 的聚点.,定理9.1 (聚点定理),证：,实数轴上任何一个有界无限点集至少有一个聚点.,定理9.2 利用聚点定理证明列紧性定理,证明： 设 为一个有界无穷点列，若 只有有限 多个数组成，则它必有无穷多项等于同一个数，此时定 理自然成立。 下设 有无穷多个互不相同的数组成，则集合 就是数轴上的一个有界无穷点集，它存在一个聚点，设 为 。与聚点的定义知，对任意的正整数k，在 中必有 的无穷多项，我们可以取 的子列 易见 。,定理9.3 利用有限覆盖定理证明聚点定理,证：反证法：,设有界无限点集S无聚点，则由S有界知,矛盾,定理9.4,证：,用Cauchy收敛原理证明确界定理.,作业,习题1.9 4,
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