函数、极限、连续(11).ppt

(一),函数 极限 连续,（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。,（一）函数 （1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。,（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。,函数、极限、连续,（4）掌握函数的四则运算与复合运算。,（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。,（6）了解初等函数的概念。,函数、极限、连续,【函数】,一、函数的概念,1、定义,设 是一个数集,和 是两个变量，,若当变量 在 中任取一个值时，,变量,按照某种对应法则 总有唯一确定的,值与之对应，,则称 是定义在数集 上,函数、极限、连续,数集 叫做函,数的定义域，,称自变量，,称因变量,函数、极限、连续,2、求定义域,常用原则,(1)、分式函数的分母不能为零,(2)、偶次根号下的量非负，即,要求,(3)、对数符号内的数量为正，即,要求,(4)、反正弦，反余弦符号内的量，,使函数有意义的自 变量的取值范围,函数、极限、连续,其绝对值小于等于1，即,要求,(5)、正切函数，余切函数符号,要求,定义域,定义域,函数、极限、连续,函数、极限、连续,求定义域的步骤:,(1)、要使函数有意义,须且,准则说明,(2)、解不等式,(3)、结论,函数、极限、连续,解:,1、要使函数有意义,须且,解得：,即：,故函数的定义域为：,函数、极限、连续,2、要使函数有意义,须且,解得：,即：,故函数的定义域为：,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解:,1、要使函数有意义,须且,解得：,故函数的定义域为：,函数、极限、连续,2、要使函数有意义,须且,解得：,即：,故函数的定义域为：,函数、极限、连续,3、要使函数有意义,须且,解得：,即：,故函数的定义域为：,的定义域为,求 的定义域,的定义域为,求,的定义域,4、,的定义域为,5、,函数、极限、连续,函数、极限、连续,3、求函数值,一般用 或 表示 .,定义,与 对应的 的值叫做 的函数值,给出函数的表达式，求出它的某些,给定点的函数值(或因变量的值),方法:,根据定义求得,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解:,1、,2、,函数、极限、连续,4、,3、,函数、极限、连续,函数、极限、连续,解:,1、,2、,函数、极限、连续,求函数的表达式,方法:,1、待定系数法,2、配方法,解:,方法一：,令,则,函数、极限、连续,方法二：,函数、极限、连续,解:,令,则,方法一：,方法二：,解:,函数、极限、连续,函数、极限、连续,4、两函数相等,两函数恒等,定义域和对应法则完全相同.,函数、极限、连续,函数、极限、连续,5、函数解析表示法中常见的几个形式,显函数：,形如 形式的函数称为显,隐函数:,如果函数的对应法则是由方程,给出的，则称 为 的隐函,函数.,如,如,数.,函数、极限、连续, 分段函数：,如果函数的对应法则是由几个解,析式表示的，则称之为分段函数,如,是由三个解析式,来表达的定义域为 的函数,说明:,1、分段函数表示一个函数，而不是几个函数.,函数、极限、连续,联系起来,如, 参数方程表示的函数：,若 与 的关系通过第三个变量,则称这种函数,关系为参数方程表示的函数.,2、分段函数的定义域是各段函数定义,域的并集.,函数、极限、连续,二、函数的性质,1、有界性,设函数 在上 有定义，,若存在正数,使得对任意的,恒有,则称函数 在 有界,若不存在这样的正数,则称,在 无界.,函数、极限、连续,说明:,有界函数 在平面直角坐标系,1、在定义域内有界的函数称为有界,中的图像介于两条水平直线之间.,2、函数 在 内有界时，,是唯一的.,正数 不,3、函数的有界性依赖于区间.,有界,在,无界.,函数.,函数、极限、连续,解:,1、对 ，有,无界,故函数 在 无界,函数、极限、连续,2、对 ，有,故函数 在 有界,2、单调性,设函数 在上 有定义，,对任意的,函数、极限、连续,单调增加,当,单调减少,注:,在定义域内单调增加(减少) 的函数称为,单调增加(减少) 函数.,单调增加(减少) 函数在平面直角坐标系中的图形自左至右是上升或下降的曲线.,函数、极限、连续,3、奇偶性,设函数 在 上有定义，,对任意的,若,奇函数,奇函数的图象关于原点对称.,偶函数,函数、极限、连续,解:,为偶函数.,函数、极限、连续,为奇函数.,函数、极限、连续,是奇函数,奇、偶、奇,奇函数,偶函数,为任意函数,的奇偶性.,令,判断,类似的,函数、极限、连续,4、周期性,设函数 的定义域为,若存在,使得对于 中的任意,实数,且有,属于,则称函数,是以 为周期的周期函数.,称为函数 的一个周期.,三角函数 的周期为,的周期为,的周期,则T的整数倍皆为,的周期,2.在其所有周期中，最小的正数我们称为其最小正周期,3.并不是所有的周期函数都有最小正周期,说明：,1.周期函数的周期不止一个若T为函数,例如常函数y=c,函数、极限、连续,1、形如 一般周期为:,2、形如 一般周期为:,3、形如 一般周期为:,函数、极限、连续,三、函数的运算,1、复合运算,若 是 的函数，,是 的,函数，,义域的交集非空，,记作,其中,为中间变量.,函数、极限、连续,解:,函数、极限、连续,2、反函数(函数的逆运算),设 是 的函数，,值域是,若对,于 中的每一个 值，,存在唯一的满足,的 值与之对应，,则得到一个定义,在 上的以 为自变量,我们称其为 的反,定义域为D,的新函数,函数，记为,函数、极限、连续,说明：,1、习惯上总以 表示自变量,表示因,变量.,所以可将 的反函数改写为,2、反函数存在的条件：,一一对应,3、函数与其反函数的定义域与值域 相反.,4、在同一坐标系下，函数与其反函数的,图象关于直线 对称.,(单调函数),由,求反函数的步骤,(1)、求原函数的定义域,求得：,(2)、把,交换位置，即得：,(3)、结论(写出反函数的定义域),函数、极限、连续,解:,1.由 ，得,故函数的反函数为：,函数、极限、连续,2.由 ，得,故函数的反函数为：,四、基本初等函数与初等函数,1、基本初等函数,幂函数：,指数函数:,( 是常数),( 且 ),函数、极限、连续,对数函数:,三角函数:,反三角函数:,( 且 ),当 时，,记为:,以上五种函数统称为基本初等函数,(1) 幂函数:,( 是常数）,是最常见的,幂函数,(3) 对数函数,(2) 指数函数：,为常数,为常数,（4）三角函数,周期函数,奇函数,周期函数,偶函数,定义域,定义域,周期函数,奇函数,（5） 反三角函数:,此外,函数、极限、连续,2、初等函数,由基本初等函数经过有限次的四,则运算或复合步骤所构成，并且能用,一个解析式表示的函数，,称为初等函,数.,都是初等函数,如,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,函数、极限、连续,1、,2