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第四节,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十一章,一、泰勒级数,上一节的问题是给定一个幂级数，确定其收敛域及和函数。本节考虑一个相反的问题：给定一个函数，能否把它展开成幂级数？,假设,一般来说不一定.,问题：,根据泰勒公式（见第三章第三节）,证明:,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法(泰勒级数法),如果某阶导数不存 在, 说明不能展开.,求出收敛半径R.,如果是，则,解：,有限,趋于零,因为 收敛,解:,(循环),例3,解:,泰勒级数：,两边积分,得,即,牛顿二项展开式,注意:,双阶乘,特殊情形：,几个基本展开式,2.间接展开法,利用已知的函数展开式, 通过变量代换、 恒等变形、幂级数求导、积分等方法把函数展开为幂级数.,两边对x求导，得,两边求原函数，得,定义且连续,区间为,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,两边求原函数，得,例4. 将 分别展开成 x 和 x1 的幂级数 .,解：,例5. 将 展开成 x1的幂级数。,解：,要点:,第四节,函数展开成幂级数,函数展开为幂级数:,2.间接展开法,利用已知的函数展开式, 通过变量代换、 恒等变形、幂级数求导、积分等方法把函数展开为幂级数.,1.直接展开法(泰勒级数法),几个基本展开式,解:,应用*,误差,误差,取
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