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文档简介

函数单调性及其极值、最值,一、函数单调性的充分条件,证,又因为,即,故,即当,同理可证（2）.,确定函数的单调性的一般步骤：,1、确定函数的定义域；,2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；,3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。,例1 确定函数 的单调区间。,解 的定义域是,令 ，得 ，又 处导数不存在，,， 这两点将 分成三个区间，,列表分析 在各个区间的符号：,例2. 确定函数,的单调区间.,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,解 的定义域是,例3,解,这三个点x=1，0，1将y的定义域 分为 四个子区间.,所以函数的单调递增区间为 .,单调递减区间为 .,如果F(x)满足下面的条件：,设 F(x)=f(x)g(x),其基本方法是：,往往可以利用单调性证明不等式,例4,证明：,二、函数极值及其求法,1、函数极值的定义,定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有,(2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.,极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.,注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。,为极大点,为极小点,不是极值点,使 的点 称为函数 的驻点。,注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.,例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点.,定理 3 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(4)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理3判定xi是否为f(x)的极值点.,由定理3判定函数极值一般步骤为：,(1)求函数的定义域,例5 求函数 的极值。,令 ，得驻点 ，而 时 不存在。,因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：,不存在,函数 的图形如图,例6. 求函数,的极值 .,令,得,列表得,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,解 的定义域是,定理4(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则,由定理4判定函数极值一般步骤为：,1、确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；,2、考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；,3、求出极值点处的函数值，得到极值。,例7,函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。,三、函数的最值,闭区间a，b上的连续函数 最值求法：,解,令,得驻点 :,若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。,解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为,令 ，得 （舍去）。又,所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是 最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方 形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。,方盒的容积为：,解 如图，设容器的底面半径为 ，高为 ，,则表面积为,所以,得驻点,由已知,得
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