函数与极限-3-连续.ppt

第三节,连续函数,设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2，终值 与初值的差u2-u1就叫做变量u 的增量，记作Du ， 即Du =u2-u1,1.3.1 函数的连续性,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为,Dy = f(x0+Dx)- f(x0),一、函数连续的概念 变量的增量:,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量Dx =x-x0趋于零时，对应的函数的增量 Dy = f(x0+Dx)- f(x0) 也趋于零，即,那么就称函数y=f(x)在点x0处连续,函数连续的定义:,等价关系：,用e-d语言叙述的函数的连续性定义： 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如 果对于任意给定义的正数e ，总存在着正数d ，使得对于适合不等式|x-x0|d 的一切x ，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-f(x0)|e ， 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续,讨论： 如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？,函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,左右连续性：,左右连续与连续的关系：,函数在区间上的连续性：,在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续,单侧连续,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,4函数y=cos x 在区间(-，+)内是连续的,3函数y=sin x 在区间(-，+)内是连续的,连续函数举例：,1如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-， +)内是连续的,例1,证,例2,解,右连续但不左连续 ,二、函数的间断点,(1) 在x =x0没有定义；,则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点,设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此 前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：,间断点的定义：,为函数tan x 的无穷间断点,间断点举例：,所以点,是函数,tan,x,的间断点,因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义：当x=1时，令y=2，则所给函数在x=1 成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点,实际上，,如果改变函数f(x)在x=1处的 定义：令f(1)=1，则函数f(x) 在x=1 成为连续,所以x=1也称为该函数的可去间断点,因此x=1是函数f(x)的间断点,左右极限虽然都存在，但不相等，,是函数f(x)的间断点,因函数f(x)的图形在x=0处产生,我们称x=0为函数f(x),跳跃现象，,所以点x=0,的跳跃间断点,通常把间断点分成两类： 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在，（但是左右极限不相等，或者相等但不等于f（ x0 ）或函数在该点无定义）那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点,间断点的类型:,三、连续函数的运算与初等函数的连续性,1. 定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数,=f(x0)+g(x0)=F(x0)，,这就证明了两个在点x0连续的函数之和在点x0连续类 似地可证明有限个函数之和的情形,证明 考虑两个在点x0连续的函数f(x)、g(x)的和： F(x)=f(x)+g(x) 由函数的连续性定义，有,定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零,例1 函数 x2 、 sin x 和cos x 都在区间(-，+)内连续,由定理1，x2+sin x、 x2+cos x、sinx +cos x在区间(-，+)内都是连续的；x2 sin x、 x2 cos x 、sin x cos x在区间(-，+)内都是连续的；tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的,加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1,1上 也是单调增加且连续的,2反函数的连续性,定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x=j(y)也在对应的区间 Iy=y|y=f(x)，xI x上单调增加（或单调减少）且连续,同样，y=arccos x 在区间-1，1上也是单调减少 且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区间(-，+)内单调减少且连续,总之，反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的,3复合函数的连续性,而函数y=f(u)在点u=a连续，,注1： 把定理5 中的x x 0换成x ，可得类似的定理,注2： 在定理5中，因为有,所以有,定理3,设,j,(,x,),=,a,，,那么，,所以,注：在定理6的条件下有,定理4 设函数u=j(x)在点x=x0连续，且j(x0)=u0，而 函数y=f(u)在点u=u0连续，那么复合函数=fj(x)在点x=x0 也是连续的,解,函数,y,=,sin,可看作是由,y,=,sin,u,及,u,=,复合而成,由定理4,，函数,sin,在无限区间,(,-,，,0),和,(0,，,+,),内是,连续的,三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ；,基本的连续函数：,反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ；,指数函数：a x (a0，a 1)；,对数函数：log ax (a0，a 1)；,证明 指数函数ax (a0，a1)对于一切实数x 都有定义，且在区间(-，+)内是单调的和连续的，它的值域为(0，+)由定理4，对数函数logax (a0，a1)作为指数函数ax的反函数在区间(0，+)内单调且连续,4初等函数的连续性,幂函数：xm ,因此，幂函数xm可看作是由y=au ，u=m logax 复合而成的，由此，根据定理6，它在(0，+)内连续如果对于m取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的,幂函数连续性的证明： 幂函数y=x m 的定义域随m 的值而异，但无论m 为何值，在区间(0，+)内幂函数总是有定义的可以证明，在区间(0，+)内幂函数是连续的事实上，设x0，则,结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的,注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间,如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区间内的点,则,初等函数的连续性在求函数极限中的应用：,举例 :,解,解,解 令a x -1= t，,则x=log a (1+t)，,当x 0时t 0，,于是,=lna .,1.3.3 闭区间上的连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,函数f(x)=1+sin x在区间0，2p上有最大值2和最小值0,函数f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最 小值-1,又如 ：,在开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1,但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无 最小值,又如 ：,注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么至少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的 函数在该区间上一定有最大值 和最小值,注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,在开区间(a，b) 考察函数y=x,函数f(x)=x在开区间(a，b) 内既无最大值又无最小值,在闭区间0，2 考察函数,函数 y=f(x)在开区间0，2 内既无最大值又无最小值,证明 设函数f(x)在闭区间a，b上连续由定理1，函数f(x)在区间a，b上有最大值M 和最小值m ，使任一x a，b满足 mf(x)M 上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m ，因此函数f(x)在a，b上有界,定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,二、零点定理与介值定理,零点： 如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点,定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续， 且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x (axb)使f(x)=0,几何意义：,例1 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有 一个根 证明 函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间0，1上连续，又,f(0)=10， f(1)=-20 根据零点定理，在(0，1)内至少有一点x ，使得 f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0x1) 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个 根是x ,定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x ，使得f(x)=C (axb),连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.,介值定理的几何意义：,介值定理的证明 设j(x)=f(x)-C，则j(x)在闭区间 a，b上连续，j(a)=A-C与j(b)=B-C异号根据零点定理，在开区间(a，b)内至少有一点x 使得 j(x)=0 (axb) 但j(x)=f(x)-C，因此由上式即得 f(x)=C (axb),x1,x,x2,y= C,mCM,C,推论的几何意义：,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,本节总结,9.