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文档简介

第一章 第二讲,行列式的性质与计算,阶行列式定义 ：,或：,可以利用定义计算：对角行列式、三角行列式等。,下三角行列式,上三角行列式,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式 变换 两行得到的,于是,则有,故,证毕,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例,应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3,证明,证明,例如,（一）、余子式与代数余子式,二、行列式的展开,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,（二）、行列式按行（列）展开法则,例1,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值（3）利用行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式
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