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第三节 函数展成幂级数 （2）,一、Taylor级数,上节例题,即:是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,研究的是给定一个幂级数，如何求它的和函数. 反过来，给定一个函数，能否展成幂级数？,假设 f(x) 能展成幂级数 , 即,因为幂级数在收敛域内无穷次可微 , 所以 f(x)能 展成幂级数的必要条件是具有任意阶导数 .,逐项求导任意次,得,Taylor系数是唯一的,Taylor系数,问题,定义,Taylor级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,实际上：Taylor多项式就是Taylor级数的部分和.,可见,在 x = 0 点任意可导,证明,因为 任意可导，则它的Taylor公式为,f（x）的 Taylor 级数的 Sn+1,若 f (x) 可以展成 Taylor 级数 ,证明,(由比值判别法可得),二、函数展开成幂级数,1.直接法 ( Taylor级数法 ),步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,f (x) 的 M 级数：,收敛区间为(1,1),两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例：设 试将 f（x）展成 x 的幂级数 . 并求 .,例4,解,例5 把 展成为 的幂级数，它的收敛半径是,例6 把 ln(49x2) 展成 x 的幂级数, 并求其收敛
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