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,第四节,一、函数单调性的判定法,下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,定理,一、 函数单调性的判定法,上页 下页 返回 结束,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,证,应用拉氏定理,得,上页 下页 返回 结束,例2,解,上页 下页 返回 结束,导数等于零的点是单调区间的分界点,例3,解,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,上页 下页 返回 结束,例4. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,上页 下页 返回 结束,说明:,例如,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,上页 下页 返回 结束,方法:,补例. 求函数,解:,1)求导数,2)令,得,3)列表,为不可导点。,上页 下页 返回 结束,故,的单调增区间为,的单调减区间为,的单调区间.,补例,证,上页 下页 返回 结束,补例. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,上页 下页 返回 结束,* 证明,令,则,从而,即,上页 下页 返回 结束,定义,二、曲线的凹凸与拐点,上页 下页 返回 结束,定理2,上页 下页 返回 结束,证:,利用一阶泰勒公式可得,上页 下页 返回 结束,定理2,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),证毕,例8,解,注意到,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,上页 下页 返回 结束,例12. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,上页 下页 返回 结束,注意:,例11. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,上页 下页 返回 结束,例10. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1. 设在,上页 下页 返回 结束,.,2. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,上页 下页 返回 结束,作业
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