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第六节 函数的连续性,增量,连续,间断点,闭区间上的连续函数,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,三条件缺一不可,注意：,例1,证,由定义知,3.单侧连续,定理1,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,直观上：其图形是一条连续而不间断的曲线.,在定义域内每一点都连续的函数称为连续函数。,例3,证,二、初等函数的连续性,定理2,例如,定理3 严格单调的连续函数必有 严格单调的连续反函数.,结论：基本初等函数在定义域内连续。,定理4,意义,1.极限符号可以与连续函数符号互换;,3.初等函数求极限的方法代入法.,三、函数的间断点,1、初等函数仅在其定义区间内连续, 定义域上不一定,注意,2、连续函数仍然可以有间断点（定义域外）,1.可去间断点:极限存在，,例,但函数值不存在，或不等于极限值,2.跳跃间断点：极限不存在,例,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,但左右极限都存在，只是不相同,例,定义：无穷型间断点,3.第二类间断点：极限不存在,并且左右极限至少有一个不存在,例,定义（最大值）：定义域在X上的函数f(x)，,四、闭区间上连续函数的性质,定理5 (最值定理) 在闭区间上的连续函数 一定有最大值和最小值.,注意:1.闭区间和连续函数是定理的充分条件; 2.闭区间和连续函数两个条件缺一不可.,几何解释,推论(有界性定理) 在闭区间上的连续函数 一定在该区间上有界.,定义(零点):,几何解释:,几何解释:,例5,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于 最大值 M 与最小值 m 之间的任何值.,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件,3.间断点的分类与判别,2.初等函数的连续性,第一类间断点:可去型,跳跃型,第二类间断点:无穷型,振荡型,间断点,求极限的又一种方法,闭区间上连续函数的四个定理：,有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理,
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