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第三章 导数的应用,第三节 函数的最大值和最小值,例 1 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 24x + 4,在区间0,3上的最大值和最小值.,解 f (x) = 12x3 - 48x2 + 60x 24,令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，,它们为 f (x) 可能的极值点，,算出这些点及区间端点处的函数值：,= 12(x - 1)2(x - 2)，,f (0) = 4，,f (1) = - 3，,f (2) = - 4，,f (3) = 13，,将它们加以比较,可知在区间0, 3上 f (x) 的最大值为 f (3) = 13，,最小值为 f (2) = - 4.,例 3 设圆柱形有盖茶缸容积 V 为常数，求表面积为最小时，底半径 x 与高 y 之比.,解 (1)建立目标函数,茶缸容积为 V = x2 y，,设表面积为 S，则 S = 2x2 + 2x y，,因为 V 为常数，所以，,由此可得目标函数 茶缸表面积的表达式,y,(2)求 S(x) 的最小值.,因为,令 S (x) = 0,得可能极点值,3,3,3,(3)求底半径与高之比.,因此，,当底半径与高之比为 ，即当其直径与高相等时，茶缸的表面积最小.,3,例 4 某厂有一个圆柱形油罐，其直径为 6 m，高为 2 m，想用吊臂长为 15 m 的吊车(车身高 1.5 m) 把油罐吊到 6.5 m 高的平台上去，试问能吊上去吗？,解 (1)建立目标函数，,设油罐吊起高度为 h，,h = BC = BE DE CD,BE = AEsinj，DE = FDtanj .,h = 15sinj 3tanj 2，,因为 AE = 15, FD = 3，CD = 2 ，所以目标函数为,吊杆与水平线的夹角为 j，,由图可知,(2)求目标函数的最大值.,因为,即,15cosj 3sec2j = 0，,得 cos3j = 0.2，,于是,查表可得,j 54.,由实际问题可知 h 的最大值是存在的，,所以可以断言当 j 54 时，,h 取得最大值，,且最大值为,而在 内目标函数的驻点又只有一个，,h |j 54 15sin 54 3tan 54 2 6 (m).,由于车身高 1.5 m
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