分数阶傅里叶变换FRFT研究.ppt

2019/7/6,电信工程学院,分数阶FROURIER变换,2019/7/6,电信工程学院,本小组人员 李耀民 张陆勇 张风山 朱雪田 张咏梅 王春光 邓天乐 孙华明,2019/7/6,电信工程学院,分数阶FROURIER变换,目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例,2019/7/6,电信工程学院,相关术语,FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号,2019/7/6,电信工程学院,主要内容,1 问题的提出 2 FRFT的基本概念 3 FRFT的基本性质 4 一些常见信号的FRFT 5 FRFT的计算方法 6 FRFT的二维表示 7 FRFT的应用 8 FRFT域内的算子 9 我的想法,2019/7/6,电信工程学院,一.问题的提出,信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波,2019/7/6,电信工程学院,一.问题的提出,有用信号为 高斯信号e-(t-4)2 干扰为 线性调频信号e-jt2.,2019/7/6,电信工程学院,一.问题的提出,信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声.,2019/7/6,电信工程学院,一.问题的提出,LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,传统Fourier变换的定义及性质 两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= g(t) e-jwtdt /2 g(t)= G(w) ejwtdw /2 G(w)=F(g(t) F2(g(t)=FF(g(t) =g(-t) F3(g(t)=G(-w) F4(g(t)=FF3(g(t) =g(t),2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 零旋转 R0=I 与Fourier变换等价 R /2=F 旋转相加性 RR=R + 恒等变换 R2 =I,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: 其中核函数为: =p/2,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,核函数具有以下性质: 1.互换性 2. 3. 4.积分相加性（完备性） 5.正交性,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,方波的几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部 虚线: 虚部,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部 图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1),2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式，并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。 有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一定的条件。 比如， （1）FFT与IFFT(无条件） G(w)= g(t) e-jwtdt /2 g(t)= G(w) ejwtdw /2,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,（2）STFT: ISTFT: 条件： (3) FRFT: IFRFT: FRFT为无条件的.,2019/7/6,电信工程学院,二.FRFT的基本概念,传统Fourier变换的性质 线性 Fanf(t)= an Ff(t) 卷积定理 Ff(t)*g(t)=Ff(t)Fg(t) 时域相关性定理 Rf1f2=f1()f2*(t- )d FRf1f2=Ff1(t)F *f2 (t) 4. 时移特性 Ff(t-t0)=Ff(t)e-jwt0 5. 频移特性 Ff(t) ejwt0=F(w-w0) 6. 尺度变换特性 Ff(at)=F(w/a)/|a| 7. Parseval关系 |f(t)|2dt=|F(f)|2df 8. 时域微分特性 Fdf(t)/dt=jwF(w) 9. 频域微分特性 F(-jw)f(t)=dF(w)/dw,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,线性性质 Fpc1f(t)+c2g(t)=c1Fpf(t)+c2Fpg(t) FRFT为线性变换,因而它满足叠加原理,这是一个非常好的性质,我们知道Wigner-Ville分布由于它仅满足二次叠加原理，它的时频分布存在自频率分布（信号项）和互频率分布（交叉项），许多文章都在怎么消除掉交叉项提出看法，FRFT的线性叠加原理保证了仅有信号项，没有交差项，所以用它实现滤波具有更好的效果。,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,旋转相加性 FRFT可以反复地进行下去，直到满意为止。 两个特例：pp+1对应FFT pp-1对应IFFT,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,连续性 当p1,p2,c1,c2 为任意实数时，FRFT满足连续性 Fc1p1+c2p2f(t)=Fc1p1Fc2p2f(t)=Fc2p2Fc1p1f(t) 由旋转相加性，可见连续性显然。 自成像 FRFT为p/4取余的恒等运算,因而p的取值范围可以为-2,+2或0,4.,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,卷积 函数f和g在p分数阶的卷积称为分数阶卷积 P域的卷积对应于p+1或p-1域的乘积 相乘 函数f和g在p分数阶的乘积称为分数阶乘积 P域的乘积对应于p+1或p-1域的卷积,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,时移特性(FT: f(t-t0)=Ff(t)e-jwt0 ) 时间函数x(t)时延后，x(t- )的分数阶Fourier变换 频移特性(FT: Ff(t) ejwt0=F(w-w0) ) 时间函数x(t)乘以一个频移函数后的FRFT.,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,尺度特性( FT: Ff(at)=F(w/a)/|a| ) =arctan(c2tan)=q/2 时间函数x(t)的时间尺度发生变化时，FRFT的变化情况。在传统的Fourier变换中，时间变量t的变化只是使其频谱的频率变量w的其的尺度和幅度发生相应的变化，而在FRFT中，时间变量t的变化不仅使FRFT的变量u发生尺度和幅度的变化，更重要的是旋转角度也发生变化。,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,尺度特性的图示说明,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,Parseval关系 定理：Parseval等式成立的充要条件为E=en:nN 为Hilbert空间中的标准正交系。 由FRFT核函数的性质可知，它显然满足定理中要求 的条件，所以，在FRFT中， Parseval等式成立 FRFT的能量保持性： 信号x(t)的功率谱|X(w)|2 信号x(t)的分数阶功率谱|Xp(u)|2,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,倍乘性 其中D=d/dt为微分算子 微分性 混合乘积律,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,移位律 指数律,2019/7/6,电信工程学院,三.分数阶Fourier变换的基本性质,分数阶Fourier变换的一些典型性质,2019/7/6,电信工程学院,四 、 一些常见信号的FRFT变换,2019/7/6,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,信号分解法 ( =p/2 =csc ) 步骤: 将函数f(x)与线性调频函数相乘,得到g(x) 将g(x)与一线性调频函数作卷积,得到g(x) 将g(x)与线性调频函数相乘,得到f(x)的分数阶Fourier变换,2019/7/6,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,通过计算离散FRFT的核矩阵,再利用FFT来计算离散FRFT。 文献 B. Santhanam and J.H McClellan. The discrete rotational Fourier transform. IEEE transactions on Signal Processing,1996,42(4):994-998,2019/7/6,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,利用矩阵的特征值和特征向量来计算离散FRFT 文献 1.Soo-Chang Pei,Min-Hung Yeh. Two dimentional discrete fractional Fourier transformj. IEEE,Signal Processing,1998,67,99-108 2.Soo-Chang Pei,Min-Huang Yeh and Chien-Cheng Tseng,Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections. IEEE transactions on Processing,1999,47(5):1335-1347,2019/7/6,电信工程学院,五.分数阶Fourier变换的计算方法,快速FRFT算法 该算法避开特征值与特征向量的匹配问题,具有易理 解,易实现,效果好等优点,并且在改变分数阶幂时,不需 要重新计算整个过程,只需计算一个对角矩阵. 文献 平先军,陶然,周思永,王越 一种新的分数阶傅立叶变换快速算法 电子学报 2001(3) 406-408,2019/7/6,电信工程学院,六. FRFT的二维平面表示,时频分布的历史和现状 时频分布的思想始于二十一世纪四十年代。 1946年Gabor提出了Garbor变换，为时频领域的信号分析打下了理论基础。 为更好的理解语音信号，R.K.Potter等在1947年首次提出了一种时频分布方法STFT,并将 其绝对值的平方称为“声音频谱图”，又称谱图。 1948年，J.Ville将Wigner在1932年提出的Wigner分布引入到信号处理领域，提出了著名 的Wigner- Ville分布 时频分布可以分为以下几类： 线性时频表示：Gabor变换、STFT、小波变换、FRFT Cohen类双线性时频分布：Wigner- Ville分布、采用核函数加权的Cohen类双线性时频分布 仿射类双线性时间-尺度分布 重排类双线性时频分布 自适应最优核函数类时频分布 参数化时频分布,2019/7/6,电信工程学院,六. FRFT的二维平面表示,时频分布的历史和现状 时频分布的应用 客观地讲，各种时频分布的技术难分好坏，关键是适用何种类型的信号。 小波变换：它以时间和尺度为参数，在时间-尺度平面的不同位置上，具有不同的分辨率，因而是一种多分辨率分析方法。小波分析得益于小波基函数得完备性、自相似性和多分辨性。它能获得成的两个最重要原因是其拥有塔形快速算法和良好的时频局域特性，缺点是一旦母小波选择不好，应用效果会大受影响。 参数化时频分布：从信号压缩和消除信号的交叉干扰角度考虑，它是比较好的方法，但求其基函数的参数，实非易事。 Wigner- Ville分布及Cohen类双线性时频分布：可以用于分析窄带信号，不适于分析宽带信号及雷达、声纳信号 仿射类双线性时间-尺度分布：适于分析宽带信号及雷达、声纳信号。 一般说来，我们总是可以先用短时Fourier变换的谱图一试，因其运算速度最快；若需要较高的时频分布率，可以采用参数化的时频分析方法。 Hilbert语：“Wigner- Ville分布已成为时频分布领域会下金旦的母鸡” 李衍达：“整个时频分布的历史，几乎就是一部与Wigner- Ville分布作斗争的历史”,2019/7/6,电信工程学院,六. FRFT的二维平面表示,研究方向： 有没有单分量信号存在，它使得Wigner-Ville分布仅存在自项（“自时频分布”、“信号项”），而不产生交叉项（“互时频分布”）？ 参数化时频分布技术。如何能高效、鲁棒的估计出基函数的参数？ 快速算法。当数据仅为1024点时，除STFT、谱图和小波变换外，几乎所有其他时频分布的计算都令人难以接受。显然，实际问题中的数据要比1024点大得多，若快速算法不解决，许多应用，特别是实时处理就无从谈起。 时频分布密度函数的物理意义何在？如Wigner-Ville 分布的一阶频率矩即为信号的瞬时频率，但对其高阶矩，其物理意义是什么？,2019/7/6,电信工程学院,六. FRFT的二维平面表示,Wigner Ville 分布的表示设时频坐标 系（t,w)经过旋转=p/2后，变成新的坐 标系(u,v)，新坐标系与旧坐标系的关系为： u=tcos +w sin v=-tsin +wcos 设信号z(t)的FRFT为Zp(u), z(t)的Wigner-Ville分布为W(t,w), 则有下 列关系：,2019/7/6,电信工程学院,六. FRFT的二维平面表示,时频分布在什么条件下，相对于分数阶Fourier变换具有旋 转不变性？即对一般的Cohen类时频分布，对其核函数(u,v) 有什么要求？ 由FRFT可以计算出Wigner-Ville分布，反之，我们由Wigner-Ville分布可以计算出FRFT。 Z0(t)Wz(t,w)=W0(t,w) W0(t,w) W0(ucos-wsin,wcos+tsin)= Wp(u,v) Wp(t,w)Zp(u)= Wp(u,v) ejuvdv, =p/2,2019/7/6,电信工程学院,六. FRFT的二维平面表示,FRFT与STFT变换、谱图的关系 谱图直接是短时Fourier变换的模的平方,所以它也是修正短时Fourier变换的 模的平方. 上述有关修正短时Fourier变换的结果, 我们可以得到如下结论: 分数阶Fourier变换对谱图的作用等同于它对修正短时Fourier变换的作用,既 有:用窗函数Hp计算的Zp的谱图是用窗函数h计算的谱图的旋转形式.,2019/7/6,电信工程学院,七. FRFT的应用,滤波与干扰的分离 在时频(t,w)平面上存在耦合 的许多信号,它们在旋转角合 适的分数阶Fourier域或(u,v) 平面上却不存在耦合问题,这 使得原本在时域或频域难于 解决的噪声与信号的分离在 分数阶Fourier上变得很容易.,2019/7/6,电信工程学院,七. FRFT的应用,利用分数阶Fourier恢复信号 有用信号为高斯信号e-(t-4)2, 干扰为线性调频信号e-jt2. 我们有以下结论: 1.高斯信号在任何p域均为 高斯信号. 2.线性调频信号在一定的p域 内会呈现出谱的高度聚集. 3.利用结论1和2,我们总可以 找到合适的p值,对两个信号 作FRFT,在p域将两者明显 分开.,2019/7/6,电信工程学院,七. FRFT的应用,分数阶滤波的实现 设输入为x(t),输出为y(t),系统工作过程如下； 输入信号先用一个瞬时频率线性变化的指数函数进行向下调制，然后通过一个线性时不变滤波器，最后进行向上调制作为输出。 推导后，得到 Yp(u)=Xp(u)G(Ucsc) 其中G是冲激响应g的传统Fourier变换，因此G(Ucos)称为分数阶滤波的传递函数。,2019/7/6,电信工程学院,七. FRFT的应用,FRFT 反变换,Fourier 反变换,H(jw) 系统函数,Fourier 变换,x(t),X(jw),Y(jw),x(t),2019/7/6,电信工程学院,八. FRFT域的算子,令(t)为一信号，不同p值 的函数p(tp）代表同一信 号(t)的不同表示方法。 定义四种不同的算子： 乘法算子：Mpp(p)= pp(p) 微分算子： 相移算子： 平移算子：,2019/7/6,电信工程学院,八. FRFT域的算子,假设p为任意值，M p,M p+1与Mp, Mp +1的关系 P,p相移算子与平移算子的关系,2019/7/6,电信工程学院,九. 问题的思考,在时频平面内, 若信号为闭的凸 集,且与噪声无交 迭部分,那么总可 以找到p并逐次滤 波,更改p值,使之 最终达到滤波目的. p值如何求?,2019/7/6,电信工程学院,九. 问题的思考,信号:高斯包络的线 调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声. 图(a):STF