函数的连续性与间断点(4).ppt

7/6/2019 5:01 PM,2.7 一元函数的连续性与间断点,1. 函数的连续性,2. 函数的间断点,3. 连续函数的运算法则,4. 闭区间上连续函数的性质,7/6/2019 5:01 PM,1. 函数的连续性,【定义 2.8】设变量 从初值 改变到终,说明 改变量可以是正的，也可是负的。,例如,从0变到1，,从1变到0，,第2章 极限与连续,值 ，,变量，,终值与初值之差 称为变量 的改,记作 。,则,则,7/6/2019 5:01 PM,如图所示,设函数 ，,第2章 极限与连续,时，,当自变量 从 改变到,函数 相应的改变量为 。,7/6/2019 5:01 PM,例 设正方形的边长 有一个改变量,如图所示，,面积的改变量,面积 改变了多少？,第2章 极限与连续,7/6/2019 5:01 PM,简单地说，,。,如图所示,处不连续,处连续,第2章 极限与连续,函数也有一个很小的变化。,当自变量有一个很小的变化时，,即 时，,7/6/2019 5:01 PM,或,则称函数 在点 处连续。,函数连续定义的等价形式,【定义 2.9】设函数 在点 的某,即,【定义 2.10】设函数 在 的某个,在点 处连续。,第2章 极限与连续,邻域内有定义，,若,则称函数,个邻域内有定义，,得的改变量 时，,如果当自变量 在点 处取,函数的改变量 ，,7/6/2019 5:01 PM,事实上，,（1）函数 在 处有定义；,（2）极限 存在；,（3）极限值等于函数值 。,若有一条不满足，函数在 处不连续,第2章 极限与连续,具备下列三个条件：,函数 在 处连续要同时,7/6/2019 5:01 PM,例1 证明函数 在给定点 处连续。,证 当 在 处有一个改变量 时，,函数 有改变量,所以，函数 在 处连续。,第2章 极限与连续,证毕。,7/6/2019 5:01 PM,【定义 2.11】设函数 在区间 上,说明 在左端点 处和右端点 处连,如上例中，,在 内连续。,第2章 极限与连续,每一点都连续，,是 的连续区间。,则称 在 上连续，,并称,续是指,而点 可以是 内的任意一点，,函数 在给定点 处连续，,因此,7/6/2019 5:01 PM,例2 证明函数 在 内连续。,证 设 为 内任意一点，,因为,所以,即,第2章 极限与连续,处有改变量 ，,函数的改变量,在,7/6/2019 5:01 PM,因而,所以函数 在点 处连续。,再由 的任意性知，,证毕。,同理可证 在 内连续。,第2章 极限与连续,内连续。,函数 在,7/6/2019 5:01 PM,说明 由函数在一点 处连续的定义及,连续函数的极限符号与函数符号可以交换,例如 求,解,第2章 极限与连续,有,7/6/2019 5:01 PM,2. 函数的间断点,【定义 2.12】若函数 在点 处不满足,定义等价于,第2章 极限与连续,连续条件，,称函数 在点 处间断，,断点。,则称函数 在点 处不连续，,或,点 称为 的间,7/6/2019 5:01 PM,若函数 在 的去心邻域内有定义，,（1）函数 在 处无定义；,（2） 不存在；,（3）,第2章 极限与连续,则下列情形之一，,称函数 在 处间断,7/6/2019 5:01 PM,例3 讨论函数 在点 处的连续,如图所示,解 由于函数,在点 处无定义，,函数 在,处间断。,第2章 极限与连续,性。,故,7/6/2019 5:01 PM,例4 设函数 ，,函数 在点 处的连续性。,解 由于,则 不存在，,在 处间断。,如图所示,第2章 极限与连续,故,讨论,7/6/2019 5:01 PM,例5 设函数 ，,数 在点 处的连续性。,解 由于,故函数 在 处,如图所示,第2章 极限与连续,间断。,讨论函,7/6/2019 5:01 PM,间断点的类型,【定义2.13】,设 是函数的间断点,均存在,若 ，称 为可去间断点。,若 ，称 为跳跃间断点。,例4中， 是跳跃间断点。,例5中， 是可去间断点；,第2章 极限与连续,第一类间断点,7/6/2019 5:01 PM,第二类间断点,至少有一个不存在,若其中至少有一个振荡，,例3中， 是无穷间断点；,若其中至少有一个为 ，,如图,是函数,的振荡间断点。,第2章 极限与连续,称 为无穷间断点；,称 为振荡间断点。,7/6/2019 5:01 PM,3. 连续函数的运算法则,【定理】若函数 与 在点 处,在 处也连续。,例,因为 在区间 内连续，,所以 在其定义域内连续。,第2章 极限与连续,连续，,则,7/6/2019 5:01 PM,【定理】若函数 在区间 上单调,例 由于函数 在闭区间,上单调增加且连续，,在闭区间 上也是单调增加且连续。,所以其反函数,第2章 极限与连续,增加（减少）且连续，,也在对应的区间 上，,调增加（减少）且连续。（证略）,则其反函数,单,7/6/2019 5:01 PM,【定理】设函数 由函数,例 求,即,解,第2章 极限与连续,与函数 复合而成，,而函数 在 连续，,若,则,（证略）,7/6/2019 5:01 PM,例 讨论函数 的连续性。,【定理】设函数 由函数,解 由于函数 在 内连续,而 在 内连续，,在 内连续。,第2章 极限与连续,与函数 复合而成，,连续，且 ，,连续，,也连续。（证略）,若函数 在,而函数 在,则复合函数 在,则函数,7/6/2019 5:01 PM,初等函数在其定义区间内都是连续的,基本初等函数在其定义域内都是连续的,初等函数的连续性,第2章 极限与连续,包含在定义域内的区间,7/6/2019 5:01 PM,4. 闭区间上连续函数的性质,【定理】（有界性定理）若函数,【定理】（最大值与最小值定理）,第2章 极限与连续,严格的理论证明省略。,下面定理只从几何直观上加以说明，,在闭区间 上连续，,区间上有界。,则 在此,若函数 在闭区间 上连续，,在此区间上一定有最大值和最小值。,则,将,7/6/2019 5:01 PM,如图所示,在闭区间 上连续，,得最小值；,在 处取得最大值。,函数在此区间上有界。,第2章 极限与连续,在 处取,因此，,7/6/2019 5:01 PM,【定理】（介值定理）若函数 在,推论（零点存在定理）若函数 在闭区,第2章 极限与连续,闭区间 上连续，,上的最大值和最小值，,任一个实数,使得 。,和 分别为 在,则对介于 和 之间的,至少存在一点,间 上连续，,点 ，,且 ，,则至少存在一,使得 。,7/6/2019 5:01 PM,如图所示,介值定理,零点存在定理,第2章 极限与连续,7/6/2019 5:01 PM,例6 利用介值定理证明方程,在区间 内各有一个实根。,证 设,由介值定理知，存在,使得,即 为给定方程的实根。,又由于三次,方程最多有三个根，,第2章 极限与连续,所以各区间内只有一个。,7/6/2019 5:01 PM,例7 求,解,例8 求,解,第2章 极限与连续,7/6/2019 5:01 PM,例9 证明 当 时，,证,所以,证毕。,第2章 极限与连续,7/6/2019 5:01 PM,内容小结,1.函数连续的等价定义,2. 间断点,函数在 点连续,第一类间断点,（可去间断点，跳跃间断点）,第二类间断点,（无穷间断点，振荡间断点）,第2章 极限与连续,存在,左右极限至少有一个不,左右极限都存在,充分必要条件,7/6/2019 5:01 PM,3.初等函数在其定义区间内连续,4.分段函数在分界点处的连续性，,5.闭区间上连续函数的性质,（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定,第2章 极限与连续,定义或充要条件讨论。,需要用,理，零点存在定理）,7/6/2019 5:01 PM,备用题,1.若函数 在 点连续，,解 因为,所以,即 在 处连续。,反之不成立，,处处间断，,第2章 极限与连续,是否在 处连续？,问,反之是否成立？,而 处处连续。,如,7/6/2019 5:01 PM,2.讨论函数 间断点的类型,解,是其