函数的积分学及其应用(2).ppt

第一章 一元函数的积分学及其应用,第一节 一元函数的积分 第二节 积分的应用,第一节 一元函数的积分,一、不定积分 二、定积分 三、广义积分,一、不定积分,1. 不定积分的概念和性质,定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若 则称F为f 在区间I上的一个原函数,问题： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？,( 2 )如果f (x)有原函数，一共有多少个？,( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？,1)原函数与不定积分的概念,被积表达式,定理1（原函数存在定理） 如果函数f（x）在某个区间上连续，那么f（x）在该区间上一定存在原函数. 简单理解：连续函数一定有原函数,定理2 如果函数F（x）是函数f（x）的一个原函数，则F（x）+C（C为任意数）是f（x）的全部原函数.,如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）所对应的曲线称为函数f（x）的一条积分曲线，将这条积分曲线沿轴方向上下任意平行移动，就得到F（x）+C，即为积分曲线族在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线都是相互平行的 f（x）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分曲线族这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互平行,2)不定积分的几何意义,性质1 设函数 及 的原函数存在，则,性质2 设函数 的原函数存在， 为非零常数，则,性质3,性质4,3)不定积分的性质,2. 不定积分直接积分法,不定积分的基本公式,利用不定积分的运算性质和积分基本公式， 直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数 进行恒等变形,直接积分法,3. 不定积分的换元积分法,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,1)第一类换元积分法（凑微分法）,（凑微分）,2)第二类换元积分法（变量代换法）,例1 求,解,令,例2 求,解,令,说明,以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,常用的基本公式表,4. 不定积分的分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,例2 求积分,解,注意循环形式,5. 简单有理函数的积分法,两个多项式的商表示的函数称为有理函数.,其中 都是非负整数； 及 都是实数，并且 .,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,1)简单分式的积分法,2)化有理真分式为简单分式,3)有理函数的积分法,二、定积分,1.定积分的概念和性质,曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.,1）定积分问题举例,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?,怎样求曲边梯形的面积？,在小区间xi1, xi上任取一点xi (i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn;,记Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n),ax0x1x2 xn1xnb;,在区间a, b内任取分点:,设函数f(x)在区间a, b上连续.,若当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间 a, b的分法和xi的取法无关, 则此极限称为函数f(x)在区间a, b上,的定积分, 记为,即,2）定积分的概念,定积分各部分的名称 积分符号, f(x) 被积函数, f(x)dx 被积表达式, x 积分变量, a 积分下限, b 积分上限, a, b积分区间，,积分和.,函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积.,定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积.,定积分的定义,3)一般地, f(x)在a, b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.,1）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积.,2）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值.,3）定积分的几何意义,性质1,性质2,性质3,性质4,性质5,如果在区间a b上 f (x)0 则,(,a,b,),.,1）定积分问题举例,推论,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,性质6,设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及 最小值 则,如果函数f(x)在闭区间a b上连 续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,2. 牛顿-莱布尼茨公式,1）变上限积分函数,2）积分上限函数的导数,(1)定理1 若 在 上连续，则积分 上限函数 在 上具有导 数，且它的导数 .,证,即：,此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分.,(2)定理2 若函数 在 上连续，则积 分上限函数 是 在区间 上的一个原函数.,证:,根据定理 1,故,因此,得,定理3,函数 ,则,3）牛顿-莱布尼茨公式,3. 定积分的积分方法,1）定积分的换元积分法,2）定积分的分部积分法,三、广义积分,1. 无限区间上的广义积分,此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限 不存在，就称广义积分 不存在或发散。,类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。,注 广义积分 收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。