函数的求导法则(13).ppt

二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,2.2 函数的求导法则,四、基本求导法则与导数公式,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且,u(x)v(x)=u(x)v(x),u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),求导法则的推广 (uvw)=uvw (uvw) =uvw+uvw+uvw 特殊情况 (Cu)=Cu,例1 y=x 4+5x 3-4x+2 求y,=4x 3+15 x 2-4,=4x 3+53 x 2-4,=(x 4)+5(x 3)-4(x),=(x 4)+(5x 3)-(4x)+(2),解,y=(x 4+5x 3-4x+2),求导法则,解,例3 ysin xcos x 求y,解,求导法则,y(sin xcos x)(sin x)cos xsin x(cos x),cos xcos xsin x(sin x)cos 2x,求导法则,用类似方法还可求得,(tan x)=sec2x,(sec x)=sec x tan x ,例4 ycotx 求y,解,例5 ycsc x 求y,解,二、反函数的求导法则,定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且,简要证明,由于xf(y)可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续,当x0时 y0 所以,例7 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例6 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且其导数为,简要证明,则Du0 此时有,假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数,解,复合函数的求导法则:,解,解,复合函数的求导法则:,解,x,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则,复合函数的求导法则:,解,解,例13,四、基本求导法则与导数公式,基本初等函数的导数公式,(1) (C)0 (2) (xm)m xm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex,函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,反函数求导法,四、基本求导法则与导数公式,(1) (u v)=u v (2) (Cu)=Cu (C是常数) (3) (uv)=uv+u v,即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x,例14 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数.,解,例15 求双曲正切th x的导数.,解,例16 求反双曲正弦arsh x的导数.,例17 ysin nxsinn x (n为常数) 求y,n sinn1xsin(n+1)x,ncos nxsinn x+n sinn1xcos x,(sin x),nsinn1x,+sin nx,sinn