函数的极值与导数(24).ppt

函数的极值 与导数二,一、复习引入 函数的导数与极值： 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数_,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足“_”,则x0是f(x)的_,f(x0)是_;如果 f/(x) 在x0两侧满足“_”,则x0是f(x)的_,f(x0)是_.极大值与极小值统称为极值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为_,右侧为_;曲线在极小值点左侧切线的斜率为_,右侧为_.,二、例题选讲:,例1:求y=x3/3-4x+4的极值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.,三.探索思考:,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.,因此导数为零的点仅是该点为极值点的_,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 右侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极小值.,求f/(x).令f/(x)=0得到x0,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,练习1:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,函数的极值 与导数三,求下列函数的导数：,例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件 .,解:(1)由 得x=0或x=2a/3.故2a/3=4, a=6.,由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:,由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无 极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时, ,此时x=1是极 值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,(1)函数的极值是一个_(局部、整体）的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.,(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内_(是、不是）单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.,(3)极大值一定比极小值大码？.,(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内