南京工程学院通信工程学院数字信号处理第2章时域离散信号与系统的频域分析.ppt

第二章 时域离散信号与系统的频域分析,2.1序列的傅立叶变换的定义和性质,2.1.1序列的傅立叶变换的定义 序列 的傅里叶变换式为,傅里叶变换存在的充分必要条件是序列满足绝对可和的条件,傅里叶反变换的定义用下式表示：,例2-1 设 ，求 的傅立叶变换。,解：,N=4时幅度与相位曲线,2.1.2序列傅立叶变换的性质,1.周期性时域离散信号的傅里叶变换以2为周期,周期性的意义 对信号进行频域分析时，只需分析一个周期即可； 处，表示直流分量； 在 附近为低频分量 在 附近为高频分量,2.线性,假设,那么,a、b是常数,3. 时移性和频移性,设 ，那么,4. 共轭对称性 1) 共轭对称和共轭反对称的概念,共轭对称序列,共轭反对称序列,对频域函数也有相同的共轭对称的概念,2) 共轭对称序列和共轭反对称序列的性质,将 用实部与虚部表示：,则,可得,上面两式说明共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。类似地，可推得,即共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。,3) DTFT的共轭对称性 将序列 分解成实部 和虚部 ，,将上式进行傅里叶变换，得到频域函数 ，将其分解成共轭对称分量与共轭反对称分量，,式中,上式说明，将实域序列分解成实部和虚部后，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，即为 ；而虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性，即为 。,若将序列 分解成共轭对称分量 与共轭反对称分量 ，,将上式进行傅里叶变换，得到频域函数 ，将其分解成实部 和虚部,上式说明，若将实域序列分解成共轭对称分量 与共轭反对称分量 ，那么共轭对称分量对应的傅里叶变换为 的实部，而共轭反对称分量对应的傅里叶变换为 的虚部(包括j)。,5. 时域卷积定理,上式说明，两序列满足卷积关系，它们分别的频域函数，即分别的傅里叶变换则满足相乘关系。或者简单地说，两信号若在时域服从卷积关系，则在频域服从乘积关系。,由傅里叶变换的定义，有,令 ，则有,6. 频域卷积定理,设时域有两信号相乘,则有,该定理表明，时域两序列相乘，转移到频域则服从卷积关系,7. 帕斯维尔(Parseval)定理,该定理表明了信号时域的能量与频域的能量之间的关系。,2.2 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换,2.2.1 周期序列的离散傅里叶级数 设 是周期为N的一个周期序列，即,可展开成如下的离散傅里叶级数，即,式中， 是 次谐波的系数,为任意整数,求解系数 ，得,一般书上常采用以下符号：,离散傅里叶级数正变换,离散傅里叶级数反变换,2.2.2 周期序列的傅里叶变换表示式 1. 复指数序列的傅里叶变换表示法,设,2. 一般周期序列的傅里叶变换表示法,假设 的周期为 ，首先将它用离散傅里叶级数表示,根据复指数序列的傅里叶变换 ， 的傅里叶变换可用下式表示：,式中,一般周期序列傅里叶变换表示式的特点如下： (1)周期序列的傅里叶变换是由在 处的冲激函数组成的，冲激函数的强度为 ，其中 是周期序列的离散傅里叶级数。 (2)周期序列的傅里叶变换仍以 为周期，而且一个周期中只有 个用冲激函数表示的谐波。,【例2-6】 令 为有理数，求其傅里叶变换。 解：将 用欧拉公式展开，有 前面已求出复指数序列的傅里叶变换如下： 那么可以推出余弦序列的傅里叶变换为,2.3 离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换,理想采样信号和模拟信号的关系用下式表示：,对上式进行傅里叶变换，得到,于是得到,即,或,式中,由这些关系可得出两点结论,(1)时域离散信号的频谱也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为 ，因此，由模拟信号采样得到时域离散信号时，同样应满足采样定理，采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的2倍以上，否则会产生频率混叠现象，频率混叠在折叠频率附近最严重，在数字域则是在 附近最严重。 (2)计算模拟信号的傅里叶变换可以用计算相应的时域离散信号的DTFT得到。方法是：首先按采样定理的要求进行采样，得到时域离散信号，再通过计算机对该时域离散信号进行DTFT，再乘以采样周期T便得到模拟信号的DTFT。,2.4 序列的z变换,2.4.1 z变换的定义及收敛域 1. z变换的定义,若序列为 ，则有以下幂级数：,称为序列 的z变换，其中z为变量。,2. z变换的收敛域,只有当 的幂级数收敛时，变换才有意义。级数收敛的必要且充分条件是满足绝对可和的条件,要满足此不等式， 值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域,1) 有限长序列,这类序列是指在有限区间 之内，序列才具有非零的有限值，在此区间外序列值皆为零。由于 有界，故要求,收敛域：,取任意值,2) 右边序列 这类序列是指只在 时， 有值，在 时,如果 是收敛域的最小的半径，则右边序列 变换的收敛域为 :,3) 左边序列 这类序列是指只在 时， 有值，在 时，,如果 为收敛域的最大半径，左边序列 变换的收敛域为,4) 双边序列 这类序列是指 为任意值时， 皆有值的序列，可以把它看 成一个右边序列和一个左边序列之和，即,即双边序列，收敛域为,3. 因果序列 因果序列是最重要的一种右边序列，即 的右边序列，也 就是说，在 时有值， 时， ，其 变换中只有负 幂项，因此级数收敛可以包括,2.4.2 逆 变换,从给定的 变换闭合式 中还原出原序列 的过 程，称为逆z变换。序列z变换及其逆z变换表示如下：,逆 变换实质上是求 的幂级数展开式 。求逆 变换的方法通常有三种： 1.围线积分法(留数法)， 2.部分分式展开法， 3.长除法,1. 用留数定理求逆z变换(围线积分法) 基于围线积分的原序列求取公式：,围线C是在 的环状解析域(即收敛域)内环绕原点的一条逆时针方向的闭合单围线,柯西留数定理计算围线积分,为单阶极点（单重极点）,F(z) 在围线c内的极点，设有M个极点,围线积分的计算,令,为N阶极点（多重极点）,多阶极点留数的计算比较麻烦，可以改求围线以外的极点的留数之和。 如F(z)在z平面上有N个极点，围线c内有 个，围线c外有 个,围线积分的计算,上式成立的条件：F(z)分母的阶次分子的阶次2,围线积分的计算,设,设P(z)、Q(z)的阶次分别为N、M，则,2.部分分式法,设X（z）有N个一阶极点,通过留数，求取,3.幂级数展开法(长除法),从定义出发,原序列是z的幂级数的系数,Z变换的两个多项式之比，通过长除，可以得到z的负幂级数,【例2-14】 已知 ，求它的逆 变换,解：收敛域 ，故是因果序列,进行长除，有,所以,由此得到,2.4.3 z变换的性质和定理,1. 线性,若,则,收敛域：,2. 序列的移位,m为正则为延迟，m为负则为超前,3. 乘以指数序列,4. 序列乘以n,5. 复序列共轭,6. 初值定理,7. 终值定理,X(z)在单位圆上只能有一个一阶极点，其它极点均在单位圆内。,8. 序列卷积,9. 复卷积定理,10. 帕斯维尔定理,2.5 利用z变换分析信号和系统的频域特性,2.5.1 传输函数和系统函数,H(z)称为线性时不变系统的系统函数，它是单位采样响应的z变换,如果H(z)的收敛域包含单位圆，则H(z)与 之间的关系为,单位脉冲响应在单位圆上的z变换即是系统的传输函数,2.5.2 根据系统函数极点的分布分析系统的因果性和稳定性,系统函数的极点 Z变换，得系统函数 因式分解,A影响输出信号的幅度 是 的零点， 是 的极点； 零极点分布将影响系统的频率特性 极点分布影响系统的因果性和稳定性,因果性,单位脉冲响应是因果序列，其Z变换的收敛域为 因果序列Z变换的极点在以 为半径的圆内 结论： 因果序列 Z 变换的极点均集中在某个圆内； 收敛域如下，包含 。,稳定性,稳定：,系统稳定：系统函数的收敛域包含单位圆； 系统函数的极点不在单位圆上,序列h(n)绝对可和，即,h(n)的z变换,Z变换的收敛域：,因果稳定系统：,系统函数的极点在单位圆内,解：系统的极点为 （1）收敛域取 收敛域包含 ，是因果系统 收敛域不包含单位圆，系统不稳定 单位脉冲响应为 （2）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统 收敛域包含单位圆，系统稳定 单位脉冲响应为 （3）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统 收敛域不包含单位圆，系统不稳定 单位脉冲响应为,2.5.3根据系统的零极点分布，分析系统的频率特性,系统差分方程： 系统函数 时域输出与系统函数的零极点有关， 频率特性与系统函数的零极点有关，希望根据零极点的分布进行定性的分析 系统的频率响应的几何确定,M个零点，N个极点 系统函数 频率特性与系统函数的零极点有关，希望根据零极点的分布进行定性的分析 系统的频率响应的几何确定,设系统稳定,极点 矢量 矢量 零点 矢量 矢量,幅频特性 相频特性,由几何法可以看出： （1）z=0处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有影响 （2）当 B 旋转到某个极点 附近时，例如在同