2018_2019学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教案（含解析）.docx

1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程(1)x22x20，(2)x210.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解xi，但不是实数1复数的概念2复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然RC.复数相等问题1：若a，b，c，dR且ac，bd，复数abi和cdi相等吗？提示：相等问题2：若abicdi，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：ac，bd.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以问题2：复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系问题4：复数zabi(a，bR)与有何对应关系？提示：一一对应1复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴(2)任一个复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的这是复数的几何意义一个复数zabi(a，bR)与复平面内的向量(a，b)是一一对应的2复数的模设复数zabi(a，bR)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.1注意复数的代数形式zabi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系 复数的基本概念例1复数z(m23m2)(m2m2)i，当实数m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？思路点拨分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析(1)当m2m20，即m2或m1时，z为实数(2)当m2m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m2时，z为纯虚数一点通复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式zabi(a，bR)时应先转化形式(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a，bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数a0，b0.z0a0，且b0.1设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件2若复数z(x21)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1 D1或1解析：选A由复数z(x21)i为纯虚数得解得x1.复数的相等例2(1)已知(2x1)iy(3y)i，x，yR，求x与y；(2)设z11sin icos ，z2(cos 2)i.若z1z2，求.思路点拨先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解精解详析(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则2k(kZ)一点通复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的3若ai2bi(a，bR)，i为虚数单位，则a2b2()A0 B2C. D5解析：选D由题意得则a2b25.4若关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，则实数m()A. B.iC Di解析：选A因为关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，即x2(12i)x3mi0x2x3m(2x1)i0m，故选A.复数的几何意义例3实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点(1)位于第二象限；(2)位于直线yx上？思路点拨位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线yx上的点的横坐标等于纵坐标精解详析根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点就是点Z(a2a2，a23a2)(1)由点Z位于第二象限得解得2a，|z1|z2|.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.2复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数zabi(a，bR)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量OZ之间的关系可用图表示1复数1i2的实部和虚部分别是()A1和i Bi和1C1和1 D0和0解析：选D1i2110，故选D.2当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dm0，m10，则实数m的值为_解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m21)(m22m)i应为实数，得解得m2.答案：27已知复数z(m23m)(m2m6)i，当实数m为何值时，z是实数；z46i；z对应的点在第三象限？解：z(m23m)(m2m6)i.令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数m4.即m4时z46i.若z所对应的点在第三象限，则0m3.即0m3时z对应的点在第三象限8在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复