安徽省涡阳一中、淮南一中等五校2019届高三数学4月联考试题文（含解析）.docx

安徽省涡阳一中、淮南一中等五校2019届高三数学4月联考试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1.已知全集，则()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合A，利用补集概念可得结果.【详解】x|x1或x4；全集x|1x4；故选：A【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.2.已知为虚数单位，是复数的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【详解】,可得,在复平面内对应的点位于第三象限,故选C.3.某学校、两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如图，班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩；班数学兴趣小组成绩的众数小于班成绩的众数；班数学兴趣小组成绩的极差大于班成绩的极差；班数学兴趣小组成绩的中位数大于班成绩的中位数.其中正确结论的编号为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知茎叶图中的数据，分别求出A班和B班学生成绩的平均数，众数，极差和中位数，即可得到选项.【详解】对于，（53+62+64+76+74+78+78+76+81+85+86+88+82+92+95）78，（45+48+51+53+56+62+64+65+73+73+74+70+83+82+91）66，即,故正确；对于，A班成绩的众数为76和78，B班成绩的众数为73，故错误；对于，A班成绩的极差为95-53=42，B班成绩的极差为91-45=46,故错误；对于，A班成绩的中位数为78，B班成绩的中位数为65，故正确.故选：A【点睛】本题考查由茎叶图求平均数，众数，极差和中位数问题，属于基础题.4.抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的方程可直接得到焦点坐标【详解】抛物线的焦点坐标是（a,0），故选：D【点睛】本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题5.三角函数的振幅是（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用两角和差公式和辅助角公式将函数化简，从而得到振幅.【详解】则函数的振幅为，故选：C【点睛】本题考查两角和差公式和辅助角公式的应用，考查振幅的概念，属于基础题.6.在中，内角所对边分别是，若，则的面积的最大值为( )A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】由余弦定理列出关系式,利用基本不等式求bc最大值，再由三角形面积公式可得结果【详解】由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即16b2+c2bc2bcbcbc，bc20，当b=c时取等号，因为,则SABCbcsinA10sinA=8，则ABC面积的最大值为8故选：B【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键7.几何原本中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，过点作交圆周于，连接，作交于，由可以证明的不等式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CDDE即可得到答案【详解】在中中线OD=,由射影定理可知CD2ACBC=ab,在中由射影定理可知CD2DEOD，即DE，由得,故选：A【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题8.如图所示，在中，,在内作射线交于点,则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以角为测度，计算当BM时，BAM30，利用几何概型的概率公式求解【详解】在ABM中，当BM时，利用余弦定理,AM2AB2+BM22ABBMcosABM9+3233，cosBAM，BAM30，从而所求的概率为P，故选：A【点睛】本题考查几何概型，正确选择测度是关键，属于基础题9.设是等差数列，为正整数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质和充分必要条件的定义判断即可【详解】若数列an为等差数列，设公差为d,若,则,整理得（m+n）d(p+q)d,若公差d0,则m+n0,则m+np+q;即当时，m+np+q不一定成立；若m+np+q且等差数列的公差d=0,可得，即m+np+q时，不一定成立；故“”是“”的既不必要也不充分条件故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可知该几何体是四棱锥E-ABCD，分别计算各个面的面积求和即可.【详解】由三视图可知该几何体是四棱锥E-ABCD，其中所对应的正方体的边长为2，且E为的中点，则四棱锥的表面积为,故选：C【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的表面积的计算方法，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.11.已知分别是双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，线段的垂直平分线过坐标原点，若,则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形的性质，结合双曲线的定义，建立方程关系进行求解即可【详解】如图OM垂直平分PF2，则PF1PF2，为双曲线右支上一点则,，可解得，由勾股定理可得，即，解得，即e=故选：D【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边长关系结合双曲线的定义建立方程关系是解决本题的关键12.已知函数，若存在，使得，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，由图知t,则,构造函数g(t)=，则转为求函数g(t)在t的范围问题，对函数求导求解即可.【详解】令,由图可知t,其中则,令g(t)=，或，当t(0,)时，故函数g(t)在(0,)上单调递减，当t(，1)时，故函数g(t)在(，1)上单调递增，则当时，函数g(t)取到最小值为，又g(0)=0,g(1)=0,可得g(t)的范围为故选：A【点睛】解决此类问题的关键是将函数零点的问题转化为两个函数图象交点问题处理，借助数形结合的方法求解，考查函数求最值问题，属于中档题第卷（选择题，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则_.【答案】0【解析】【分析】将已知等式两边平方，得到2sincos的值，将 sin+cos平方整理可得结果.【详解】将两边平方得：（sin-cos）22，即1-2sincos2，2sincos-1，（sin+cos）21+2sincos0，即sin+cos0，故答案为：0【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，属于基础题14.已知，若向量与共线，则_.【答案】3【解析】【分析】根据向量共线求出，利用数量积坐标公式计算即可【详解】（4，2+1），与共线，即2+13，解得1，2+13，故答案为：3【点睛】本题考查平面向量共线的充要条件的应用，考查向量数量积运算，属于基础题15.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为 _.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】不等式表示的平面区域如图所示：目标函数z2x+3y+1，即yx+-，则直线过点A时，纵截距最小，由图可知点A坐标为（0-2），目标函数z2x+3y+1的最小值为20+3（-2）+1-5，故答案为：-5【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题16.函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】令t=cosx,且t-1,1, 函数f(x)可转为函数g(t)=, t-1,1，利用导数可得函数的最值.【详解】令t=cosx,且t-1,1,则函数f(x)=g(t)=, t-1,1,则或t=1, 当时，即g(x)在上单调递增，当时，即g(x)在上单调递减，则当时函数取得最大值为，当t=1时g(1)=1,当t=-1时g(-1)=-3,可得函数的最小值为-3，即函数的值域为，故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查余弦二倍角公式及换元法的应用，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列满足， .（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，利用累乘法可求得通项；（2）写出数列通项，然后利用裂项相消法可求得前n项和.【详解】(1)，当时，也成立， （2），由（1）知， ， .【点睛】本题考查由数列递推关系式求数列的通项，考查累乘法的应用，考查裂项相消求和法，属于基础题.18.如图所示，和均为棱长为2的正四面体,且四点在同一平面内.(1)求证：；(2)求多面体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）设E，F在ABD和CBD内的投影分别为G，H，可得四边形EGHF为平行四边形，即EFGH，由四边形ABCD为菱形，则GHBD，可得EFBD；（2）由图可得VEFABCD2VBACEF然后求出三棱锥BACEF的体积得答案【详解】（1）证明：设E，F在ABD和CBD内的投影分别为G，H，EGFH，EGFH，则四边形EGHF为平行四边形，EFGH，由已知可得四边形ABCD为菱形，GHBD，则EFBD；（2）VEFABCD2VBACEF由已知求得AC，EFGH， ,EG= 又O为AC与BD的交点，则BO1，,【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与计算能力，考查多面体体积的求法，是中档题19.已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆标准方程；（2）过椭圆的右焦点的动直线，交椭圆于不同的两点，交轴于点，且,试探究是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）由已知条件列出a,b,c的等量关系计算可得椭圆方程；（2）联立方程组得出A，B的坐标的关系，根据向量共线求出，的值，根据根与系数的关系化简即可得出结论【详解】(1)由题意知a=2,椭圆方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设为，直线，交椭圆于不同的两点，交轴于点，则M(0,-k)，右焦点F（1,0）联立，设 ，由，得，得同理由，解得，为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系的应用，注意根与系数的关系的运用，属于中档题20.某中学为了了解本校高三学生地理学习情况，在开学考结束后，从本校所有学生中随机抽取了100人，将他们的地理成绩分为6组： ，并得到如图所示的频率分布直方图.现规定：“地理成绩分”为“优秀”，地理成绩“分”为“非优秀”.（1）求图中实数的值并估算本次地理考试的平均成绩；（2）请将下面的列联表补充完整；根据已完成的列联表，判断是否有 的把握认为“地理成绩与数学成绩有关”；(3)若从两组中，按照分层抽样的方法抽取6名同学,再从这6名同学中抽取2人参加座谈会，求抽取的两人来自同一组的概率.附：（注：参考公式，其中）【答案】（1）分；（2）没有90的把握认为地理成绩与数学成绩有关；(3).【解析】【分析】（1）由频率和为1可得a值，再计算平均分；（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）基本事件总数n15，抽取的两人来自同一组包含的基本事件个数m7，由古典概型概率公式计算即可得到答案【详解】(1)a=0.030 ，平均成绩分.（2）列联表如下：,没有90的把握认为地理成绩与数学成绩有关.（3）由题意知40，50抽取2人记为a ,b,90,100抽取4人记为B ，C ，D， F抽取2人总的结果为ab aB aC aD aF bB bC bD bF BC BD BF CD CF DF 共15种结果,其中来自同一组有ab BC BD BF CD CF DF共7种结果 。记事件A:抽取2人来自同一组 【点睛】本题考查平均数、古典概型概率公式的应用，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题21.设函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，若函数存在两个极值点，证明：.【答案】（1）见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出函数f（x）的导数f（x），然后对a讨论，从而求出单调区间；（2）根据（1）确定两个极值点x1、x2，求出f（x2）的表达式，再通过导数研究其最值来证明【详解】(1),当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增，在递减.（2）由（1）知时，两个极值点为，令,在上递增，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与