函数图形的描绘(12).ppt

第六节 函数图形的描绘,综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行 (1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续 性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单. (2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴的交点f(x)=0, 顶点f=0, 间断点和始(终)点. (3)利用导数研究函数的单调区间与极值,凹凸区间与拐点.,(4)求出曲线的全部渐近线 (5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标. (6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制 点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹 凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.,例5 作出例4中函数的图形,(1) 定义域为x1的实数;当x=1时为间断点, x=0时y=-9/4, y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点 为(0,-9/4), (3,0),(2),令y=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域 分成四个区域: 曲线在(-,-1,3,+ )之内y0,函数单调上升; 曲线在-1,1),(1,3内y0函数单调下降. 函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有 极大值 y(-1)= -2; 函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有 极小值y(3)=0,(3),当x1时,y”0,曲线下凹,没有拐点. x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此 x=1不是点.,(4) 渐近线为x=1和y=x/4-5/4,所以x=1是曲线的竖直渐近线,是曲线的斜渐近线,(5) 函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点 (2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12),综合上面的讨论,列表如下:,下面我们研究三个问题 (1) 利用导数证明不等式. (2) 证明某些等式. (3) 方程根的进一步讨论.,(1)利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有: 10 利用导数定义证明. 20 利用微分中值定理; 30 利用函数的单调性;,40 利用极值(或最值); 50 利用泰勒公式. 60 利用函数的凹凸性证明,20 利用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x) 的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有 f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一 端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯 西中值定理证.,例2 证明不等式,证明：把lna乘以各式,得到,区间1/(n+1),1/n上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ()(b-a),因为,是函数f(x)=ax 在,例3,30 利用函数的单调性 当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端 或两端含f(x),且知道f(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证.,解：:为证不等式,只要证,例4 当x0时,证明不等式,其辅助函数为,所以当x0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0) (x0) 从而 f(x)严格单调增加,于是当x0时f(x)f(0)=0,例5 设f”(x)0 ,f(0)=0,证明当0ab时,f(a+b)f(a)+f(b),函数f(x)严格单调减少,证明: 要证明f(a+b)f(a)+f(b)就只要证f(a+b) -f(b)f(a)-f(0),40 利用函数的极值与最值,例6 对任意实数x,证明不等式,例7 设f(x)在a,b上二次可微,且对任意x(a,b),有 |f”(x)|M,又f(a)=f(b),证明,50 利用泰勒公式 若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式 时常用泰勒公式.,60利用函数的凹凸性证明 函数的凹凸性主要用于证明二元不等式,例8 证明当x0,y0时,xlnx+ylny(x+y)ln(x+y)/2,(2)证明某些等式 利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或 一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西 定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证 的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知 道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证. 若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数 的商时,常用柯西中值定理证.,关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移 到另一端) 或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆 推的方法.,解: 辅助函数为,例9 设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0. 证明在(a,b)内至少存在一点,使f()+f()=0, 这里的是任意实数.,根据连续函数的性质可知,(x)在a,b上连续,在(a,b)内也可 导.满足罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点,例10 设f(x)在a,b上连续(0ab),在(a,b)内可导,证明在(a,b) 内存在,使得,(3).证明方程的根的存在性与个数 方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质 及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨 论.关于方程根的证明,主要有两种情况,(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根 1.利用介值定理证明方程根的存在性,例11,由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+)内各有一个根.,2.利用罗尔定理证明方程根的存在性 这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅 助函数, 把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点 的存在性.,例12 设实数a0 , a1 ,a2,a3,an,满足关系式,证明 方程a0+a1x+a2x2+anxn=0 在(0,1)内 至少有一个根.,(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根 证明的步骤和方法如下:,方法有:利用函数的单调增减性;用反证法,通常可利 用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.,2.再证唯一性或最多有几个根.,方法有:利用连续性函数的介值定理;利用罗尔定理.,1.先证存在性,例13 设f(x)在0,1上可导,且0f(x)1,又对于(0,1)内所有的 x,f (x)-1,证明方程f(x)=1-x在(0,1)内有唯一的实根.,证明: 先证存在性. 令(x)=f(x)+x-1, 则(x)在0,1上可导,因为00,由介值定理知 (x)在0,1内至少有一个零点.即方程f(x)=1-x 在(0,1)内至少有一个根.,再证唯一性. 用反证法.设方程f(x)=1-x在(0,1)内有 两个根x1,x2.不妨设0x1x21.即f(x1)=1-x