可分离变量的微分方程(14).ppt

转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,一阶微分方程,一般形式：,特殊一点的形式：,如,如,一阶微分方程,也可写成对称形式,若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为,若将y视为自变量，x为因变量，方程可改写为,即便是一阶微分方程,也没有一种统一求解的方法。 微分方程必须根据不同的类型，用不同的方法求解。 所以判别微分方程的类型十分重要。 下面几节将讨论几种常见类型的方程的解法。,其中2-4节，讨论一阶微分方程求解 5-8节，高阶微分方程求解,最简单的一阶微分方程：,通解：,例如,无法积分,两边同除以y,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量：,积分：,通解：,隐式解,验：,原方程,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),可分离变量的微分方程,分离变量：,对称形式,例 2,求初值问题：,解：,整理：,分离变量：,积分：,通解：,例 2,求初值问题：,通解：,将 x = 0, y = 1 代入：,2 = C,特解：,双曲线,例 2,求初值问题：,对一些不能分离变量的微分方程，可以作变量替换将其化为可分离变量的方程。,例3,解方程：,解,方程不能分离变量,令,原方程化为：,原方程化为：,可分离变量,分离变量：,积分：,通解：,将 x = 0, y = 1 代入通解：,特解：,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,积分,可分离变量微分方程的应用,指数模型,设某一物质（人口、细菌、放射性元素）的总量 x 是时间的函数： x = x(t) (未知) 已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻 t = 0 时，x(0) = x0 求总量函数 x = x(t),x 的增长（减少）速度：,已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻 t = 0 时，x(0) = x0,建立微 分方程：,增长模型,减少模型,同理,增长模型,这是一个可分离变量的微分方程,通解,将 t = 0, x = x0 代入：x0 = C,特解：,指数增长 Exponential Growth,同理,指数减少 Exponential Decay, plot(3*exp(0.3*x),x=06,thickness=3,view=06,018,ytickmarks=4);,指数增长 Exponential Growth,plot(3*exp(-0.3*x),x=010,thickness=3,view=010,04,ytickmarks=4);,指数减少 Exponential Decay,指数减少模型,自学,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,降落伞所受外力：F = mg kv 由牛顿第二定律：F = ma 建立微分方程：,外力分析： 重力：mg,阻力：kv,例5.,成正比,求,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,初始条件：v(0)=0,分离变量：,积分：,初始条件：v(0)=0,初始条件：v(0)=0,通解,初始条件：v(0)=0,将 t=0, v=0 代入通解：,通解,特解,初始条件：v(0)=0,特解,分析：当,运动将趋于匀速。,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,六、小结,求解微分方程,思考题,思考题 1 解答,为所求解.,作业,P304： 1 （偶数） 2（奇数）,练习1. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初