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第四节 依测度收敛,第四章 可测函数,1. 依测度收敛的定义及例子,例1：依测度收敛但处处不收敛的函数列,例2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列,Riesz定理 若 ,则必有fn的子列 fnk ， 使得,2. Riesz定理 及勒贝格定理,3. 收敛间的关系,依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）,注：(1),(2),(4)当mE=+ 时,也成立；条件mE+ 对(3)来说不可少.,定理：令mE+ ， ，则 (1) 若又有 , 则f(x)=h(x) a.e.于E。,（2）的证明：设 fn 与 gn 是E上几乎处处有限的可测函数 列, 于E， 于E, 则 于E,注:(1),(4)的证明类似，只要利用,证明：由于,故,这与（*）式矛盾，所以,证明：假设 不成立，则,（3）证明,条件mE+对(3)来说不可少,注：令 ，则 gn不依测度收敛于g,注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明 任取 fn gn 的子列fnk gnk ，找 fnk gnk 的子列 fnki gnki使得,例 设 但 不依测度收敛于f 2于R,依测度收敛的等价描述,令mE+，则 对fn 的任意子列 fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得,证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk ， 由于 当然有,由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki ， 使得,充分性,反之：假设 不成立，则,显然 fnk的任何子列 fnki都不依测度收敛与f，,再由Lebesgue定理(mE+)的逆否命题知，显然 fnk的任何子列 fnki都不几乎处处收敛与f ，,这与条件矛盾，,故存在 fn的子列 fnk ，使得,例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E,从而,令 ，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定理的推论知,再由Riesz定
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