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第二节 可分离变量的微分方程,一、一阶微分方程,二、可分离变量的微分方程及其求解,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、一阶微分方程,首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：,例 一阶微分方程：,也可以写成,一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,问题：如何求解一阶微分方程？难！,问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：,二、可分离变量的微分方程及其求解,如果一阶微分方程能化成,（4）,的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的,微分方程,什么方程是可分离变量的微分方程呢？,第二步：两边积分,解法：,第一步：分离变量,或,或,针对,三、例题,解 原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量,两边积分,得：,例2 求解初值问题,解 原方程化为,它是可分离变量方程,分离变量,两边积分,得：,即：,记,则通解为,故所求特解为,解 设,由题设，有,这是一个可分离变量的方程。,分离变量,两边积分,这是一个可分离变量方程。,解 令,，则,分离变量,两边积分, 通解为,本节学习内容是：,1. 可分离变量方程的“标准型”；,四、小结,2. 分离变量法步骤：,五、重点,掌握分离变量法。,六、难点,化为可分离变量方程。,七、主要题型,八、学习方法指导,九、常见问题辅导：,常常通用，而不严格区分其,的细微之处？,答：我们用一个例子来说明：,解一 原方程是一个可分离变量的方程；,解二 原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量且两边积分 ：,常将C写成,或,这样，,于是，将解直接写成,答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：,十、课堂练习,1.解方程,2.解微分方程初值问题,，,十一、课堂练习题解,1.解 这是可分离变量方程；,分离变量,两边积分, 通解为,2.解 这是对称形式的可分离变量方程；,分离变量并积分之，得, 通解,故特解为,十二、自测题,一、求下列微分方程的通解：,二、求下列微分方程的特解,十三、自测题题解,一、1解 这是可分离变量方程，,分离变量并两边积分，得 ：, 通解为,一、2解 这是可分离变量方程，, 通解为,分离变量并两边积分得：,二、1解 这是可分离变量方程，,分离变量，两边积分得,即：,故特解为,二、2 解 这是对称形式的可分离变量方程；,分
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