第6章 平面图形的初步认识知识归纳与题型突破（单元复习 15类题型清单）（原卷版）

第6章平面图形的初步认识知识归纳与题型突破（题型清单）一、直线、射线、线段相关概念（一）直线相关概念1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的2.表示方法1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成·：两点确定一条直线．直线的特征1）直线没有长短，向两方无限延伸2）直线没有粗细3）两点确定一条直线4）两条直线相交有唯一一个交点．（二）射线相关概念1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．l2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．注：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．（三）线段相关概念1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA2）线段也可用一个小写·英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．3.“作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．注1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CBAB，或AB＝2AC＝2BC．———若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．（四）直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表注1）联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．二、角（一）角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°)；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°).3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合）(3)读数（读出另一边所在线的刻度数606060（二）角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°,∠2＝30°,所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF=∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF<∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC=∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF=∠DEG-3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．1如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC=∠COA=∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA.24）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向．○2仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角三、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：顶点边的关系大小关系对顶角有公共顶点∠2的两边互为反向延长线对顶角相等，即∠1=邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°特别说明：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.角.一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.特别说明：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别说明：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.四、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.特别说明：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.题型一直线、射线、线段的联系与区别例题：下列各图中直线的表示方法正确的是()A．直线ABB．直线AbC．直线abD．直线bA巩固训练1.下列说法错误的是()A．直线BA与直线AB是同一条直线B．线段AB与线段BA是同一条线段C．射线BA与射线AB是同一条射线D．射线AB与线段AB都是直线AB的一部分2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有()①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线AB；⑤延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的；⑥点B在线段AC上．A．2个B．3个C．4个D．5个323·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是()A．射线AB和射线BA是同一条射线B．图中以点A为端点的射线有两条C．直线AB和直线BA不是同一条直线D．延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的题型二画直线、射线、线段(1)画线段AB，射线AD，直线AC；(2)连接BD，BD与直线AC交于点E；(3)连接BC，并延长BC与射线AD交于点F．巩固训练123·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，(1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；①作射线BA；②作线段BC；③连接AC，并在线段AC上作一条线段AD，使AD=AB，连接BD．(2)数数看，此时图中线段共有条．2.如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：(1)画线段AC、BD交于E点；(2)作射线BC；(3)取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上；(4)在线段BC延长线上作线段CM=BC．3.如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：(1)画直线AB；(2)画射线CB；(3)画线段AD；(4)延长线段DC与直线AB相交于点E．题型三两点确定一条直线、两点之间线段最短例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释．巩固训练1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是：．2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（123）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第条路线（只填编号理由3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是：，题型四线段中点的有关计算例题：如图，线段AB=10cm，C是线段AB上一点，BC=6cm，M是AB的中点，N是AC的中点(1)图中共有条线段(2)求线段MN的长巩固训练1.如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC:CD:DB=2:3:4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF=48cm．求AB的长．2.已知B，C在线段AD上．(1)如图，共有条线段；(2)如图，AB=CD．①比较线段的大小：ACBD（填“>”“=”或“<”②若BD=4AB，BC=12cm，则AD的长为cm；(3)若AB:CD=1:2，且E为BC的中点，求AE与BD的数量关系温馨提醒：重新画图323·24上·全国·课堂例题1）如图①,已知点C在线段AB上，线段AC=6cm,BC=4cm,M,N分别是AC,BC的中点，求线段MN的长；（2）如图①,已知点C在线段AB上，线段AB=10cm，M,N分别是AC,BC的中点，求线段MN的长；（3）如图①,已知点C在线段AB上，线段AB=acm，M,N分别是AC,BC的中点，求线段MN的长；（4）如图②,已知点C在线段AB的延长线上，线段AB=acm,M,N分别是AC,BC的中点，则线段MN的长为．题型五角的概念及表示方法例题：下列说法中，正确的是()A．一个周角就是一条射线B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大D．7AOB也可以表示为7BOA巩固训练123·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是()A．L1与LAOB是同一个角B．LAOC也可以用LO表示C．Lβ=LBOCD．图中有三个角LAOB,LAOC,LBOC2.如图所示，回答下列问题：(1)写出能用一个字母表示的角：；(2)写出以点B为顶点的角；(3)图中共有个小于平角的角．3.根据给出的图回答下列问题：(1)L1表示成LA，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．(4)LADC与LACD是同一个角吗？请说明理由．(5)图中共有几个小于平角的角？题型六角的单位与角度制例题：计算：巩固训练1.（1）1周角=平角=直角；2.计算：题型七求一个角的余角、补角例题：若Lα=47o20,，则Lα的余角等于，Lα的补角等于．巩固训练1．如果LA=25o，那么LA的余角等于；LA的补角为．2．若Lα=62o，则Lα的余角为°,Lα的补角为°.13．一个角的余角比它的补角的多12o，求这个角的余角．3题型八三角板中角度计算问题例题：将一副直角三角尺如图放置，若LBOC=160o，则LAOD等于．巩固训练1.如图，直角三角板COD的直角顶点O在直线AB上，线段OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE是LAOD的平分线．(1)当LCOE=30O时，求LBOD的度数；(2)当LCOE=“时，LBOD=（用含α的式子表示2.如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使LBOP=70O．将一块直角三(1)当n=32时，求LPON的大小；(2)若0<n<70时，求LAON_LPOM的值．题型九角平分线的有关计算例题：已知O为直线AB上一点，LCOE是直角，OF平分LAOE．(1)如图①,若LCOF=34O，则LBOE=；若LCOF=mO，则LBOE=；LBOE与LCOF的数量关系为；(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到图②的位置时1）中LBOE与LCOF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．巩固训练1.如图所示，LAOB是平角，OM,ON分别是LAOC,LBOD的平分线．(1)当7MON=140O时，求7COD的度数；(2)当7COD=xO时，求7MON的度数．2.（1）如图1所示，已知7AOB=120O，OC平分7AOB，OD、OE分别平分7AOC、7COB，求7DOE的度数；（2）如图2，在（1）中把“OC平分7AOB”改为“OC是7AOB内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求7DOE的度数；（3）如图3，在（1）中把“OC平分7AOB”改为“OC是7AOB外的一条射线且点C与点B在直线AO的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出7DOE的度数题型十与余角、补角、角平分线有关角的计算问题例题23·24上·全国·课时练习）如图，OD平分7BOC,OE平分7AOC,7BOC=70O,7AOC=50O．(1)求出7AOB及其补角的度数；(2)请求出7BOD和7AOE的度数，并判断7DOE与7AOB是否互补，并说明理由．巩固训练123·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使7BOC=120O．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．(1)当三角尺一边OM在LBOC的内部（图①),且恰好平分LBOC，此时直线ON是否平分LAOC？请说明理由；(2)当三角尺一边ON在LAOC的内部（图②),求LAOM_LCON的值．2．如图，过点O在LAOB内部作射线OC．OE，OF分别平分LAOC和LBOC，LAOC与LAOB互补，LAOC=α.(2)如图2，若OD平分LAOB．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．题型十一同位角、内错角、同旁内角的辨别例题2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，L3的同旁内角是，L4的内错角是，L7的同位角是．【变式训练】1．如图所示，L1与L2是角，是直线和直线被直线所截而形成的，L1与L3是角，是直线和直线被直线所截而形成的．2．如图，（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线所截得的角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线所截得的角；（3）∠3和∠ABC是直线、被直线所截得的角；（4）∠ABC和∠ACD是直线、被直线所截得的角；（5）∠ABC和∠BCE是直线、被直线所截得的角．例题：如图，点E在AC的延长线上，若要使ABCD，则需添加条件（写出一种即可）【变式训练】1．如图，填写一个能使AB∥CD的条件：．2．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可题型十三根据平行线的性质与判定求角度例题2023下·浙江温州·七年级校考期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分7BAC，EF平分7AED，72=73．(1)试说明AB∥CD；(2)若7AFE_72=30O，求7AFE的度数．【变式训练】12023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，APTBP于点P．71+72=90O(1)求证：AD∥PE；(2)若AC平分7DAP，交PE于点C，且7ACP=54O，求72的度数．22023上·浙江金华·八年级校考开学考试）如图，在三角形ABC中，E是AC上一点，EF∥BC，交AB于点F，D是BC上一点，7AFE=7CDE．(1)DE与AB平行吗？请说明理由；(2)若7B=130O，求7DEF的度数．题型十四平行线的性质在生活中的应用例题：已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°,若此时CD平行地面AE，则7BCD=