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光电子技术,1 矢量场的Helmholtz定理,定理： 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即： 其中 为无散场， 为无旋场。,Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即 任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无 散场，由旋涡源激发；并且满足： 另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：,2 证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。,对 存在单值函数 ，使得 ， 势量场， 势量场 的势函数,3 势函数 势量场,场论基础,数学描述,性质,是一个势量场，又称保守场。,必是无旋场,回路积分为零。,线积分 与路径无关。,势量场 的势函数 u 为保守函数,场论基础,所谓场是指带有某种物理量的空间。 数学语言描述为: 如果空间或部分空间中每一点对应于某一量的值，则这样的空间称为场。,4、场的概念,场论基础, 数量场 如果对应的物理量是标量，这种场称为标场或数量场: 直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 例如：温度场 矢量场 对应的物理量是矢量，这种场称为矢量场： 直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 例如：流速场、电场,场论基础,5、数量场和矢量场,6 积分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义 (1): (2): (3): (4): 说明：式（1）：电荷可以单独存在，电场是 有源的。式（2）：磁荷不可以单独存在，磁 场是无源的。式（3）：变化的磁场产生电 场。式（4）：变化的电场产生磁场。,7、微分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义 在场矢量对空间的导数存在的地方，利 用数学中的格林公式和斯托克斯公式积分形 式的麦克斯韦方程组可写成微分形式 ： （5）： （6）： （7）： （8）：,2.2麦克斯韦方程组,空间自由电荷电流密度,传导电流密度,物理意义： （5）式表明：磁感应强度（磁通密度）的 变化会引起环行电场； （6）式表明：电位移矢量起止于存在自由 电荷的地方； （7）式表明：磁场没有起止点； （8）式表明：位移电流和传导电流一样都 能产生环行磁场。,2.2麦克斯韦方程组,无源有损耗区域中:, 媒质 均匀,线性,各向同性。,若不考虑位移电流，就是无源有损耗扩散方程。,从电磁场基本方程组推导电磁波动方程,讨论前提：, 脱离激励源；,1）,8 无源有损耗波动方程,9 非均匀介质中的波动方程,同理得：,电场波动方程：,10 理想介质中的均匀平面波,方程的解,传播特性 （单一频率）电磁波的相速 ，真空中,m/s,2满足该方程的函数对z的二阶导数应与它对t的二阶导数具有相同的形式,二者仅差一个常数; 设:Ex的函数为 Ex(t)=f(t) 则满足一维波动方程的函数为,Ex(z,t)分别对z与t二次求导易证其是一维波动方程的解,1 其是一个二阶偏微分方程,必有两个独立解;,2.1 缓变振幅条件下的Helmholtz方程,平面光束是最简单的光束，却是理想情况，实际中应用更多的是近轴光波。,近轴光波是指一种在轴上波前的垂线与行进方向夹角很小，基本处于平行的波，它满足近轴近似Helmholtz方程，且光束功率基本上也集中于轴附近。,近轴光波，可认为是平面波振幅缓变的结果：,振幅缓变,振幅沿轴向缓变，是指A(r)在z方向波长尺度内变化极缓。因而该波在保持平面波大部分特定的前提下，波前发生弯曲，形成近轴光波。,将一个波长内的振幅变化用 来表示，则有：,缓变,因而，Helmholtz方程变为：,上式是一个近轴Helmholtz方程.,也就是说， ，即切向连续性。 假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y 平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z = 0 平面的上、下方的介质不同，如图所示,介质界面上的边值关系只取下列两式：,2.2 反射和折射定律,设入射波、反射波和折射波的电场强度为 ，波矢量分别为 、 。,介质2,介质1,z,x,把入射波、反射波和折射波写为： 同时由 可得磁场矢量为,在 z=0 的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条件。这个事实意味着：在 z=0 处，所有场的空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在 z=0 处必须相等，即在边界面上 E2t=E1t ，所以 要使该式成立，只有,因为x、y、t 都是独立变量，必然有 由此可见：,讨论： a) ，这说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。 b) 根据 ，假若 ，则必有 。这说明反射波和折射波与入射波 在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢 与分界面的法线 所组成的平面）。 c) 根据 由此得到： ，即反射角=入射角。（反射定律）,d) 根据 ，有 则 这就是折射定律,2.3全反射,1全反射现象,特别是当 时，折射定律的原形式将失去意义，这时一般观察不到折射波，只有反射波，因而称作全反射。实际上仍然有波透射入第二种介质，但是透射波仅仅存在于界面附近薄层中。,折射定律,2全反射情况下 的表达式,设 为全反射情况下的平面波解，仍然假定入射波在 平面，即 ，,全反射条件为 ，由 、 得,倏逝波,沿媒质边界（x方向）在表面极薄层面内传播的行波,相速度比普通平面波的相速度要慢，因此又称慢波,穿透深度,振幅值衰减倒原来的 时的深度,电磁波在n1介质波长,证明：,2.4当平面波投射到两种介质分界面时，将产生什么现象？用什么定律来说明？其表示式是什么？,当平面波投射到两种介质分界面时，将产生反射和折射现象，入射，反射，折射三个波的传播矢量（方向）的关系由反射定律和折射定律来说明： ki，kr，kt分别是入射，反射，折射播的波矢, r 是分界面上的任意位置矢量 入射，反射，和折射对播的振幅关系由Fresmel公式表示,3.0 水平极化波,垂直极化波,水平极化波：电场矢量与入射面垂直 垂直极化波：电场矢量在入射面上 导行波 全反射条件下，介质1和介质2中的波是一个统一体。是一个波形的两个部分。如果衰减常数足够大，介质2中的波将只存在于介质1表面。因而场是沿界面平行的方向传播的，是由介质面平行的方向传播的。是由介质界面导行的。因而叫导行波,3.1根据均匀平面波的入射角1不同，薄膜波导中可产生哪三种类型的波？它们的产生条件是什么？,当平面波的入射角1变化，产生不同的波形：导波或辐射波 n1n2n3 导波：n3/n1n2/n1sin11 辐射波：c131c12 衬底辐射模 1c13c12 上下量界面的全反射条件都被破坏,3.2 在介质波导中，导波在什么情况下处于截止状态？其导波截止的临界状态又是什么？,导波截止的条件：出现衬底辐射模。临界状态：1=c12.,3.3 特征方程及横向谐波特征,可以看作二束斜向上与斜向下传播的光束的相干迭加,二束光间的光程差为:,上下界面全反射引入的相位延迟为:,对波,对/波,相位延迟,m=0、1、2、3,中间层折射率,传输光波在真空中的波数,波导内的入射角,真空中的波数,特征方程的物理意义 当波导和波长给定时，特征方程时关于未知数1的方程，它确定了形成导波的入射角1的条件。,3.4、波导的截止波长,按假定 临界角由下面衬底的折射率 决定：,临界状态 界面II上的相位跃变 即发生全反射时的入射角,代入色散方程可得：,由上式可求得不同模式下的截止波长,对 模：,对传输工作波长的几种情况讨论如下：,光波大于0阶的临界波长， 不能在波导内传播。,这样得光波对m及m=0阶模 均可被传输，发生多模传输。,（2） 此时只有m=0得零阶模可以传 输，即单模运行。,单模传输的条件,对于对称薄膜波导,特征方程变成,对波长为 的光波， 波导内所允许传播 的模式个数为,3.5 均匀平面波,均匀平面波是指沿某方向传播的电磁波的场量E和H除随时间变化外，只与波的传播方向有关，而与其他坐标无关。例如：沿Z方向传播的均匀平面波。其数学表示式 E=E(t,z) H=H(t, z),3.6 哪种模式是薄膜波导中的基模？为什么？ TE0模是基模，TE0模的截止波长最长。,3.7晶体中D与E的关系、光线椭球,与,间存在如下线性关系,现将上式形象地用一个空间椭球来表示，我们已经知道,常数,即,用x,y,z代替1/R,E2/R,E3/R,则上式可以写为,这里xyz坐标系中的一个椭球方程，称光线椭球。 换用坐标系XYZ,使XYZ轴分别沿椭球的三个主轴（晶体的介电主轴），则椭球不变。但与此坐标相应的筘介电系数ij取新的值，而光线椭球方程为,）椭球上任一点的坐标x,y,z(X,Y,Z)对应于Ex/R, Ey/R, Ez/R(EX/R, EY/R, EZ/R),因此，任一点的矢径 对应于,讨论：,）椭球面上任一点的法线,函数,表示椭球面。则法线由此面上任一点的梯度求出,光线椭球上的法线对应于电位移矢量 的方向,折射率椭球主轴坐标系方程,意义:,折射率椭球曲面有二个重要性质:,(1),3.8、折射率椭球,3.8、折射率椭球,单轴晶体中光传播：,yoz截面图,旋转椭球,3.8 介质薄膜波导中的场分布,以TE波为例，薄膜波导中TE波的 分量为,(1),薄膜波导中的特征方程：,(2),(3),把(3)式的 h 代入(1)第一式，得,(4),可由 求得。,对于 模:,场沿x方向的变化不足半个驻波。,按边界条件：,(2) x=-d处,(4b),(1) x=0处,(4a),(3)中间层中，场变化极大值在 处，即满足,故有,(5),对TE波,对TM波,且由 ，可知在界面 上得相位移 大于 下界面的相移 ，即 ，代入(5)可知,(6),这意味着场分布的极大值(波腹)偏向衬底。,及,且 ，,这表示了场在覆盖层中衰减得比下衬底中快。,(4)由,可知,4.1折射率椭球方程（在原主坐标系中）,(8),若,代入原方程，整理得到：,消除了交叉项（非对角项），即找到了新的主坐标系！,1 外加电场的方向平行于轴 z(纵向调制),新主折射率：,通常 很小，可把 看作 的微扰增量,2 外加电场垂直于光轴(横向调制),设外加电场平行于y轴,则 于是(9)式变成： 设新主轴相对旧主轴转过角度,新旧坐标间有关系,(9)a,代入(9)a,并整理,有,为使上式方程主角化,令交叉项为零,解得,由于 , 因而有,新主轴坐标xoy中的折射率椭球方程,新主轴坐标系中三个主折射率近似为,单轴晶体变为双轴晶体,双轴晶体的光轴之一仍为z轴; 新主轴坐标由旧主轴坐标绕y轴旋转