不等式和绝对值不等式.ppt

第一讲 不等式和 绝对值不等式,不等式的基本性质 (第一课时),观察以下四个不等式： a+2 a+1-(1) a+33a-(2) 3x+12x+6-(3) xa-(4),一 不等式,同向不等式： 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边（不等号的方向相同）. 异向不等式： 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个的左边小于右边（不等号的方向相反）. 同解不等式 形式不同但解相同的不等式。 其它重要概念 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式,2. 基本理论,1.实数在数轴上的性质: 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：,0,用数学式子表示为:,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么,当点A在点B的左边时,ab.,关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果ab,那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果ab,那么a-b是负数;反过来也对.,上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据。,要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比 较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数 比较大小提供了“标杆”。,思考？,从上述事实出发，你认为可以用什么方法 比较两个实数的大小？,例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小,解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x1) 2x3 - (x +1) = (x1)(2x32x2) + (2x22x) + (x1) = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 2 (x + 1/2)2 + 1/2 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。,= (x -1)2 2 (x + 1/2)2 + 1/2 xR 2 (x + 1/2)2 + 1/2 0 若x1 那么 (x -1)2 0则 2x4+1 2x3+x2 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 若 x1 时 2x4+1 2x3+x2,求差比较大小 分四步进行：作差；变形；定号； 下结论。,练习,比较x2+y2与xy+x+y-1的大小,【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差变形判断符号常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.,例2、比较,练习题,1. 已知 x0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.,【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.,【典型例题】,例3、比较以下两个实数的大小：,作商比较法： 作商变形与1比较大小 大多用于比较幂指式的大小,练习,2、选择题： 已知 ，在以下4个不等式中正确的是： （1） （2） （3） （4）,小结,主要内容 基本理论: a - b 0 a b a - b = 0 a = b a - b a b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差变形判断符号下结论。 变形是关键： 1变形常用方法:配方法，因式分解法。 2变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积。,1比较 的大小,2如果 ,比较 的大小,作业,一、课本 P10 2,二、补充,不等式的基本性质 (第二课时),【知识回顾】,2、比较两个实数大小的主要方法:,(1)作差比较法：作差变形定号下结论；,(2)作商比较法：作商变形与1比较大小下 结论 大多用于比较幂指式的大小,探究！,类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？,不等式的基本性质,单向性,双向性,问题,上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？,注意,1、注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质； 3、上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础。,例2、已知ab0,Cd0,e0,求证：,【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能 自己“制造”性质来进行,例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.,例4、已知,，求下列式子的取值范围。,（1）1-x （2）x(1-x),解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运算。本题常见的错误是将取值范围扩大。,变式:设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的 取值范围.,【解题回顾】本题采用了