高三数学三角函数的应用.ppt

2010届高考数学复习 强化双基系列课件,24三角函数- 三角函数的应用,2sin(x1+x2)0, cosx1cosx20 且 0cos(x1-x2)1.,0cos(x1+x2)+cos(x1-x2)1+cos(x1+x2).,典型例题,由已知 0t11, 0t21,只需证明 (1-t1t2)2(1-t12)(1-t22).,即证 1-2t1t2+(t1t2)21-t12-t22+(t1t2)2.,即证 (t1-t2)20.,t1t2,(t1-t2)20 成立.,由题设 3+a=2,a=-1.,有以下解法:,解法1 凑角处理,解法2 先化简原式,解法3 变式处理,应用题举例,1.已知扇形的周长为 30cm, 当它的半径和圆心角各取什么值时, 才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少?,解: 设扇形的半径为 r, 圆心角为 , 面积为 S, 弧长为 l ,依题意得 l +2r=30.,则 l =30-2r(0r15).,=56.25.,当且仅当 15-r=r 即 r=7.5 时取等号.,故当 r=7.5 时, S 取最大值 56.25.,此时, l =15.,答: 扇形的半径为 7.5cm, 圆心角为 2rad 时, 扇形的面积最大, 最大面积是 56.25cm2.,2.已知一扇形的中心角为 , 所在圆的半径为 R. (1)若 =60, R=10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C0), 当 为多少弧度时, 该扇形有最大面积?,解: (1)设扇形的弧长为 l , 该弧所在的弓形面积为 S弓.,(2)扇形的周长 C=2R+l =2R+R,3.如图所示, ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮, 其中,解: 连结 AP, 设 PAB=(090),延长 RP, 交 AB 于 M,则 AM=90cos, MP=90sin.,PQ=MB=100-90cos, PR=MR-MP=100-90sin.,S矩形PQCR=PQPR=(100-90cos)(100-90sin),=10000-9000(sin+cos)+8100sincos,S矩形PQCR=10000-9000t+4050(t2-1),=4050t2-9000t+5950.,当且仅当 2sin2=cos2 时取等号,5.如图: 某地要修建一横截面为梯形的水渠, 为降低成本, 必须尽量减少水与水渠壁的接触面, 若水渠断面面积为定值 a, 渠深 8 分米, 则水渠的倾角 为多少时, 才能使修建成本最低?,解: 作 CEAD 于 E.,设水渠横断面边长之和为 l , 则 l=BC+2CD.,则 k0, 且 ksin+cos=2.,sin(+)1,6.平地上有一水渠, 渠边是两条长 100 米的平行线段, 渠宽AB 长 2 米, 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧, 圆弧中点为 C, 渠中水深为 0.4 米. (1)求渠中水有多少立方米(sin0. 927=0.8)? (2)若要把水渠改挖(不得填土)成截面为等腰梯形的水渠, 使渠的底面与地面平行, 改挖后的渠底宽为多少时, 所挖的土最少(结果保留根号)?,解: (1)如图,依题意, CF=0.4, OE=1, OF=0.6.,EF=0.8, DE=2EF=1.6.,在 OEF 中, sinEOF=0.8,EOC=0.927.,EOD=20.927.,=0.927.,渠中有水 100(0.927-0.48),=44.7(立方米).,6.平地上有一水渠, 渠边是两条长 100 米的平行线段, 渠宽AB 长 2 米, 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧, 圆弧中点为 C, 渠中水深为 0.4 米. (2)若要把水渠改挖(不得填土)成截面为等腰梯形的水渠, 使渠的底面与地面平行, 改挖后的渠底宽为多少时, 所挖的土最少(结果保留根号)?,解: (2)如图,依题意, 只需等腰梯形面积最小.,设 ONP=,则梯形面积,即 Ssin2-cos2=2,|sin(2-)|1,解: 如图, 分两种情况讨论:,AB=CD=a, AD=BC=b.,7.有一块长为 a, 宽为 b(ab) 的矩形木板, 在二面角为 的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边与封面贴紧), 试问, 应怎样围才能使储物仓的容积最大? 并求出这个最大值.,设 OA=x, OB=y, 则 a2=x2+y2-2xycos,a22xy-2xycos=2xy(1-cos).,当 OA=OB 时, 储物仓的容积最大;,(2)若使短边紧贴地面, 则,(1)若使长边紧贴地面, 则,也是 OA=OB 时, 储物仓的容积最大.,V1V2 .,故当长边紧贴地面且仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时, 储物仓的容积最大.,解: (1)AC=asin, AB=acos,设正方形边长为 x, 则 BQ=xcot, RC=xtan.,8.如图, 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ABC 外的地方种草, ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池, 其余的地方种花. 若 BC=a, ABC=, 设 ABC 的面积为 S1, 正方形的面积为 S2. (1)用 a, 表示 S1 和 S2;,xcot+xtan+x=