20182019学年第一学期上海市高二下册12.3椭圆方程 (1)

椭圆【学习要点】1. 定义：平面内与两个定点、的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距 离）的点的轨迹为椭圆，其中两定点、叫做焦点，定点间的距离叫做焦距.2. 椭圆标准方程： 焦点在轴上，中心在原点，方程为：； , 焦距, . 焦点在轴上，中心在原点，方程为：. , 焦距, .3. 椭圆的性质：（1） 范围：，；（2） 对称性：坐标轴是对称轴，原点是对称中心；（3） 顶点：、，为长轴，为短轴.4. 椭圆的几个结论：（1） 椭圆上的点到其焦点的最大值为，最小值为；（2） 椭圆上的点与两焦点、构成的三角形面积，其中5. 若直线与椭圆相交于、两点，则椭圆弦 长.6.椭圆一般式：【例题讲解与训练】例1.动圆过定点，并和定圆相内切，求动圆圆心的轨 迹方程.变式训练11. 已知三角形的两个顶点是和，周长是，则第三个顶点的轨 迹方程是_.2. ABC的三边，且成等差数列，两点的坐标分别是，则点B的轨迹方程是_.3. 已知动圆和圆内切，并和圆外切，求 动圆圆心的轨迹方程.例2.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是_.变式训练21. 已知椭圆的焦点为和，是椭圆上一点，且是与 的等差中项，则此椭圆方程是_.2.焦点在轴上，满足，的椭圆的标准方程是_.3. 把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则=_.例3.若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是_.变式训练31.若方程表示椭圆，则的取值范围是_.2.已知椭圆与的焦距相等，则实数=_.3.若椭圆的一个焦点是，则=_.例4.若椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点分别是直线与两坐 标轴的交点，求椭圆的标准方程.变式训练41. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，则椭圆 的方程是_.2.已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别是和，过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程是_.3.设椭圆的中心为原点，在轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和长轴较近的端点的距离为，求椭圆的方程.例5.已知为椭圆内且不在轴上的一点，直线过点，且直线与这个椭圆交于两点，两点的中点恰好为点.求证：直线的斜率.变式训练51. 已知椭圆的一条弦的斜率为，弦的中点为，为坐标 原点，若的斜率为，则=_.2.已知直线交椭圆于两点，是椭圆与轴正半轴的交点，若的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线的方程是_.3.已知椭圆.（1）求斜率为的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；（3）求过点且被平分的弦所在的直线方程.例6.已知一动直线与椭圆交于两点，求的最大值.变式训练61. 设直线过点，倾角为，求被椭圆所截得的弦长.2.已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的 最大值.3. 已知直线和椭圆交于点，若以为直径的圆过椭圆的左焦点，求实数的值.例7.椭圆上的点到直线的距离的最小值是_.变式训练71.椭圆上的点到直线的距离的最大值是 .2.点到椭圆上点的最大距离是 .3.点到椭圆上点的最大距离是 ，最小距离是 .例8.已知点P是椭圆上的一点，和是焦点，且,则的面积为 .变式训练81. 已知点P是椭圆上的一点，和是焦点，且,则 的面积为 .2.椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时， 点P横坐标的取值范围是 .3. 以椭圆上的一点与椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积的最大值是，则此椭 圆的长轴的最小值是（ ）A.B.C.2D.例9.已知，,是椭圆上的任意一点，求的 最小值.变式训练91. 是的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的 最大值是 .2.在直线上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作 椭圆，问：在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆.例10.设为椭圆上的点，且过原点，为椭圆的一个焦点，求的面积的最大值.变式训练101. 已知倾斜角为的直线过点，且与椭圆相交于两点，为坐标原点.求：当面积最大时的值.2.过原点且倾斜角为的两条直线分别交椭圆于和四点.（1） 求四边形的面积；（2）当变化时，求的最大值.答案例1. 变式训练1 1.； 2.； 3.例2. 变式训练2 1.； 2.； 3.35例3. 变式训练3 1.； 2.； 3.1例4. 或变式训练4 1.或； 2.； 3.例5. 略变式训练5 1.； 2.；