要点梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号.ppt

要点梳理 1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_. (2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号.,7.4 基本不等式:,a0,b0,a=b,基础知识 自主学习,2.几个重要的不等式 (1)a2+b2 _(a,bR). (2) _(a,b同号). (3) (a,bR). (4) (a,bR). 3.算术平均数与几何平均数 设a0,b0，则a,b的算术平均数为 ,几何平均 数为_，基本不等式可叙述为：_ _.,2ab,2,术平均数不小于它们的几何平均数,两个正数的算,4.利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，x+y 有最_值是_.（简记：积定和最小） (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_时,xy有最 _值是_.（简记：和定积最大）,x=y,小,x=y,大,基础自测 1.下列结论中不正确的是 （ ） A. B. C.a2+b22ab D. 解析 只有当a、b同号且不为零时 成立，,B,2.已知向量a=(x-1,1),b= 则|a+b|的最小 值 是 （ ） A.1 B. C. D.2 解析 a+b= |a+b|=,B,3.当x1时，关于函数 下列叙述正确 的是 （ ） A.函数f(x)有最小值2 B.函数f(x)有最大值2 C.函数f(x)有最小值3 D.函数f(x)有最大值3 解析 x1,x-10,C,4.已知a0,b0， 则a+2b的最小值为 （ ） A. B. C. D.14 解析 据题意知,A,5.若00, x(4-3x)= 3x(4-3x) 当且仅当3x=4-3x,即x= 时取得等号.,D,题型一 利用基本不等式证明不等式 【例1】已知x0,y0,z0. 求证： 由题意，先局部运用基本不等式，再利 用不等式的性质即可得证.,思维启迪,题型分类 深度剖析,证明 x0,y0,z0, 当且仅当x=y=z时等号成立.,利用基本不等式证明不等式是综合法证明 不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题 的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经 过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.,探究提高,知能迁移1 （1）证明：a4+b4+c4+d44abcd; (2)已知a0,b0,a+b=1,求证: 证明 （1）a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd. 原不等式得证. （2）a0,b0,a+b=1， 所以原不等式成立.,题型二 利用基本不等式求最值 【例2】求下列各题的最值. （1）已知x0,y0,lg x+lg y=1,求 的最 小值； （2）x0,求 的最小值； （3）x3，求 的最大值； （4）xR，求 的最小值.,思维启迪 （1）由lg x+lg y=1得xy=10,故可用基本 不等式. （2）由x0, 是常数，故可直接利用基本 不等式. （3）由于 不是常数，故需变形. 又x-30，故需变号. （4）虽然 (常数),但利用基 本不等式时，等号取不到，所以利用函数的单调性.,解 （1）方法一 由x0,y0,lg x+lg y=1, 可得xy=10. 当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立. 方法二 由x0,y0,lg x+lg y=1,可得 当且仅当 即x=2,y=5时等号成立.,(2)x0, 等号成立的条件是 即x=2, f(x)的最小值是12. (3)x0, 当且仅当 即x=1时，等号成立. 故f(x)的最大值为-1.,(4)令sin2x+1=t,则t1，2，故 任取t1,t21，2且t1t2, t1t2且t1,t21，2， t1-t20,t1t2-50,故g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2), g(t)在1，2上是减函数， f(x)min= 等号成立的条件是sin2x+1=2. sin x=1, 故f(x)的最小值是 利用基本不等式求最值问题,基本方法 是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注 意元的范围,同时也要注意“拆项”、“凑项”的技 巧，特别要注意等号能否取到.,探究提高,知能迁移2 （1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x 求函数 的最大值; （3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.,解（1）x0,y0, 当且仅当 时，上式等号成立， x=4,y=12时，(x+y)min=16.,(2)x0, -2+3=1, 当且仅当 即x=1时，上式等号成立， 故当x=1时，ymax=1.,(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy, 当且仅当 即x=2y时取等号， 又2x+8y-xy=0,x=12,y=6, 当x=12,y=6时，x+y取最小值18.,题型三 利用基本不等式解应用题 【例3】(12分)某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平方米的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2, 水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低总造价； （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出最低总造价.,思维启迪 设污水处理池的宽为x米,则长为 米, 由题意可建立总造价与x的函数关系,进而通过求函数 的最值确定x的取值. 解 （1）设污水处理池的宽为x米， 则长为 米. 1分,当且仅当 (x0), 即x=10时取等号. 5分 当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造 价为38 880元. 6分 （2）由限制条件知 8分,g(x)有最小值， 10分 即f(x)有最小值为 当长为16米，宽为 米时， 总造价最低，为38 882元. 12分 （1）解应用题时，一定要注意变量的实 际意义，即变量的取值范围. （2）在求函数最值时，除应用基本不等式外,有时会 出现基本不等式取不到“=”，此时要考虑函数的单 调性.,探究提高,知能迁移3 某学校拟建一块周长为400 m的操场如 图所示，操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学 生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操 区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？ 解 设中间矩形区域的长，宽分别为x m,y m, 中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为 因为操场周长为400,所以,即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 时， 矩形区域面积最大.,1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代 数式要进行适当变形.比如：,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接. (1) (a0,且aR),当且仅当a=1时“=” 成立. (2) (a0,b0,a,bR),当且仅当a=b时 “=”成立. 3.二次配方：a0,aR,应用不等式 可解 决部分分式不等式的最值问题.比如：当x2时，,使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在 前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不 等式求最值，这三个条件缺一不可.,失误与防范,(1)确保“一正”.对于负数，很多不等关系就不一定 成立.如：当x0时， 显然不再成立. 事实上，此时 (2)要使 中“=”成立，必须使a=b成立. 如：,一、选择题 1.在下列各函数中,最小值等于2的函数是 ( ) A. B. C. D.,定时检测,解析 选项A中，x0时，y2,x0时，y-2; 选项B中，cos x1,故最小值不等于2； 选项C中， 答案 D,2.（2009天津理，6）设a0，b0,若 是3a与3b的 等比中项，则 的最小值为 （ ） A.8 B.4 C.1 D. 解析 由题意知3a3b=3,即3a+b=3，所以a+b=1. 因为a0,b0, 当且仅当a=b时，等号成立.,B,3.已知x0，y0，lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最 小值是 （ ） A.2 B. C.4 D. 解析 由lg 2x+lg 8y=lg 2,得lg 2x+3y=lg 2, x+3y=1,C,4.已知 （a2), (xn B.mn C.m=n D.mn 解析,A,5.x 则 的最小值为 ( ) A.-3 B.2 C.5 D.7 解析,D,6.函数 x(0,3)，则 （ ） A.f(x)有最大值 B.f(x)有最小值-1 C.f(x)有最大值1 D.f(x)有最小值1 解析 x(0,3),x-1(-1,2), (x-1)20，4)， 当且仅当 且x(0,3), 即x=2时取等号，当x=2时，函数f(x)有最小值1.,D,二、填空题 7.若正数a、b满足 则a+b的最小值为_. 解析,8.函数y=ax-1 (a0,且a1) 的图象恒过定点A,若点 A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m,n0,则 的最小值为_. 解析 由题知A（1，1），m+n=1，m,n0.,4,9.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a1)，则(a+1)(b+2) 的最小值为_. 解析 ab-4a-b+1=0, ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1,a1,a-10. 当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立. 最小值为27. 答案 27,三、解答题 10.(1)求函数y=x(a-2x) (x0，a为大于2x的常数)的 最大值； (2)设x-1,求函数 的最值. 解 （1）x0,a2x, 当且仅当 时取等号，故函数的最大值为,（2）x-1,x+10. 设x+1=z0,则x=z-1 当且仅当z=2,即x=1时上式取等号. x=1时,函数y有最小值9,无最大值.,11.(1)已知a0,b0,c0且a+b+c=1. 求证: （2）已知a0,b0,求证： 证明 （1）a+b+c=1, =3+2+2+2=9. 等号成立的条件是a=b=c,故,（2）方法一,方法二 a0,b0, 由不等式的性质+得：,12.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费， 对生产的羊皮手套进行促销.在1年内,据测算年销售 量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系为 (x0),已知羊皮手套的固定投入为3万元, 每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元.（年销售 收入=年生产成本的150%+年广告费的50%） (1)试将羊皮手套的年利润L（万元）