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3个附加题综合仿真练(五)(理科)1本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A选修42:矩阵与变换已知向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中,点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3),求矩阵A.解:设A,因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量,所以(1).所以因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3),所以.所以由解得a1,b2,c2,d1,所以A.B选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线(n为参数)与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长解:法一:将曲线(t为参数)化为普通方程为y28x. 将直线(n为参数)代入y28x得,n28n240,解得n12,n26.则|n1n2|4, 所以线段AB的长为4.法二:将曲线(t为参数)化为普通方程为y28x, 将直线(n为参数)化为普通方程为xy0,由得或所以AB的长为 4.C选修45:不等式选讲已知函数f(x),g(x),若存在实数x使f(x)g(x)a成立,求实数a的取值范围解:存在实数x使f(x)g(x)a成立,等价于f(x)g(x)的最大值大于a,因为f(x)g(x)1,由柯西不等式得,(1)2(31)(x214x)64,所以f(x)g(x)8,当且仅当x10时取“”,故实数a的取值范围是(,8)2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1B平面ABC,ABAC,且ABACA1B2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小;(2) 在棱B1C1上确定一点P,使二面角PABA1的平面角的余弦值为.解:(1)以A为坐标原点,AC,AB所在直线为x轴,y轴,过A平行于A1B的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),(0,2,2),(2,2,0)所以cos,故棱AA1与BC所成的角是.(2)设(2,2,0),则P(2,42,2)设平面PAB的一个法向量为n1(x,y,z),又(2,42,2),(0,2,0),则即令x1,得平面PAB的一个法向量n1(1,0,)易知平面ABA1的一个法向量是n2(1,0,0),则cosn1,n2,解得,即P为棱B1C1的中点,其坐标为P(1,3,2)时,二面角PABA1的平面角的余弦值为.3设ab0,n是正整数,An(anan1ban2b2a2b n2 abn1bn) ,Bnn.(1)证明:A2B2;(2)比较An与Bn(nN*)的大小,并给出证明解:(1)证明:A2B2(a2abb2)2(ab)20.(2)AnBn,证明如下:当n1时,A1B1;当n3时,An,Bnn,令abx,aby,且x0,y0,于是An(xy)
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