2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案.docx

第1课时椭圆的几何性质学习目标1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题知识点一椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二椭圆的离心率1椭圆的焦距与长轴长的比e称为椭圆的离心率2因为ac，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆1椭圆1(ab0)的长轴长是a.()2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为1.()4设F为椭圆1(ab0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为ac(c为椭圆的半焦距)()题型一椭圆的几何性质例1求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解由已知得1(m0)，0m24m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距c，椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e.反思感悟从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质跟踪训练1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e.题型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由已知得从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.反思感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)依题意有解得椭圆的标准方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求椭圆的标准方程为1.命题角度2最值问题例3椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程解设所求椭圆方程为1(ab0)，a2b.椭圆方程为1.设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，则d2x224b2y23y324b23，令f(y)324b23.(1)当b，即b时，df4b237，解得b1，椭圆方程为y21.(2)当b，即0b，与bb0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2ad1d22R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|PF2|2R2a2Rd1d2.素养评析将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.1Bx21C.y21D.1答案B解析由已知得c，b1，所以a2b2c26，故椭圆的标准方程为x21.2已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析由2x23y2m(m0)，得1，c2，e2，e.3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案B解析由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_答案42，42解析因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，425已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)1可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理2椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用3利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题4椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.一、选择题1椭圆4x249y2196的长轴长、短轴长、离心率依次是()A7,2，B14,4，C7,2，D14,4，答案B解析先将椭圆方程化为标准形式1，其中b2，a7，c3.2.如图，直线l：x2y20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案D解析x2y20，yx1，.3焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析依题意得c2，ab10，又a2b2c2，从而解得a6，b4.4椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A.B.C2D4考点由椭圆的简单几何性质求方程题点由椭圆的几何性质求参数答案B解析椭圆x2my21的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故2，解得m.5若椭圆1的离心率为，则k的值为()A.B3C.或3D3或答案C解析若焦点在x轴上，则12，k；若焦点在y轴上，则，k3，故选C.6已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，离心率e，则椭圆方程为()A.1B.y21C.1D.1答案C解析因为|F1F2|2，离心率e，所以c1，a2，所以b23，即椭圆方程为1.7过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析由题意得，点P的坐标为或，因为F1PF260，所以，即2acb2(a2c2)，所以e22e0，解得e或e(舍去)8如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.1B2C.D.考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案A解析过F1的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率e1.二、填空题9若椭圆x2my21的离心率为，则m_.答案或4解析方程化为x21，则有m0且m1.当1时，依题意有，解得m.综上，m或4.10已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e_.答案解析因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.11若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_答案1解析x1是圆x2y21的一条切线椭圆的右焦点为A(1,0)，即c1.设P，则kOP，OPAB，kAB2，则直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2)b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.三、解答题12已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.13.如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值解设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.14已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.考点椭圆的离心率问题题点求离心率的取值范围答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e，故选A.15已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(1，0)，B