北京市石景山区2019届高三数学3月统一测试（一模）试题理.docx

2019年石景山区高三统一测试数 学（理） 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则下列关系中正确的是A. PQ B. PQC. QPD. 2.设是虚数单位，若复数，则复数的模为A. B. C. D. 3.某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为A. 2B. 6C. 10D. 244.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智n为偶数n为奇数游戏在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且 ，则解下个圆环所需的最少移动次数为A. B. C. D. 5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的，依次输入的为1，2，3，运行程序，输出的的值为A. B. C. D. 6.已知平面向量，则是与同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若，则下列各式中一定正确的是A. B. C. D. 8.已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，则的最小值为A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.若变量满足约束条件则的最小值为_10.等比数列的首项，则其前项和_ 11.在极坐标系中，直线与圆的位置关系为_（填“相交”、 “相切”或“相离”）12.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是_（只需写出一个可能的值）13.过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与y轴交于点P，若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为_14.在直角坐标系中，点和点，设集合，且，则；点, 到轴距离之和的最小值为 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题13分）在中，角的对边分别为，（）求的值； （）求的面积16. （本小题13分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同（）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；（）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论17. （本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形，分别为的中点，在线段上（不包括端点）（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求；若不存在，说明理由18.（本小题13分）设函数，（）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值19（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上（）求椭圆的方程；（）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明20.（本小题13分）若项数为的单调递增数列满足：；对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.（）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；（）若数列具有性质，且，（）证明数列的项数；（）求数列中所有项的和的最小值2019年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分 题号12345678答案CBBADCAC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 9； 10； 11相交； 12或 或； 13 ； 14，三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题13分）解：()在中， ， ，由正弦定理得， ()由余弦定理得， ，解得或（舍） 16（本小题13分）解：()设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A 则 ()可能取0，1，2，3，4 ， 所以的分布列为01234P （）75 17（本小题14分）（）证明：在矩形中， 分别为的中点，且， ， 平面，平面，平面 （）证明：在矩形中，矩形平面，且平面平面，平面， 又平面， ，为的中点，又，平面， 平面，平面平面 （）在平面内作的垂线，如图建立空间直角坐标系， 设， ， 设平面的法向量为，即 令，则，是平面的一个法向量， 平面，平面的法向量为， 二面角的大小，解得， 在上， 18（本小题13分）解：（）， ， 由题设知，即，解得 经验证满足题意。（）方法一： 令，即，则 （1） 当时，即对于任意有，故在单调递减； 对于任意有，故在单调递增， 因此当时，有最小值为成立（2） 当时，即对于任意有，故在单调递减， 因为，所以，即， 综上，的最大值为 方法二：由题设知，当时，, （1）当时， 设，则， 故在单调递减， 因此，的最小值大于，所以 （2）当时，成立 （3）当时，因为， 所以当时，成立 综上，的最大值为 19（本小题14分）解：（）依题可知， 因为 ，所以 故椭圆的方程为 （）以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为则点坐标为，中点的坐标为， 由得 设点的坐标为，则所以， 因为点坐标为， 当时，点的坐标为，直线的方程为，点的坐标 为此时以为直径的圆与直线相切 当时，直线的斜率所以直线的方程为,即 故点到直线的距离 （或直线的方程为,故点到直线的距离）又因为 ，故以为直径的圆与直线相切综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切 解法二:（）以为直径的圆与直线相切 证明如下: 设点,则 当时,点的坐标为，直线的方程为， 点的坐标为， 此时以为直径的圆与直线相切， 当时直线的方程为， 点D的坐标为,中点的坐标为,故 直线的斜率为, 故直线的方程为,即, 所以点到直线的距离 故以为直径的圆与直线相切综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切 20（本题13分）解：（）因为 ，所以 不具有性质 ； 因为， ， ，所以 具有性质 （）（）因为是单调递增数列，又， 所以 即， 所以， ，所以， 又因为，所以 （）因为，；所以可以构造数列满足性质；或， 所以可以构造数列满足性质；上述两个数列的和为，下面说明为数列中所有项的和的最小值若在数列中，要