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大题规范满分练(二)三角综合问题1.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题意知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题意及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5.2.(2018太原模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cos A的值.(2)求sin (2B-A)的值.【解析】(1)由asin A=4bsin B及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cos A=-.(2)由(1),可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B=.由(1)知,A为钝角,所以cos B=.于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin (2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=-=-.3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sin Asin B.(1)求角C.(2)若c=2,ABC的中线CD=2,求ABC的面积S的值.【解析】(1)由已知得sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理可得cos C=-.因为0C,所以C=.(2)方法一:由|=|+|=2,可得+2=16,即b2+a2-ab=16,由余弦定理得a2+b2+ab=24,所以ab=4,所以S=absin C=ab=.方法二:延长CD到M,使CD=MD,连接AM,易证BCDAMD,BC=AM,CAM=.由余弦定理得所以ab=4,所以S=absin C=ab=.4.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且mn.(1)求角B的大小.(2)若b=,求a+c的取值范围.【解析】(1)因为m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且mn,所以(2a+c)cos B+bcos C=0,所以cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,所以2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.即2cos Bsin A=-sin (B+C)=-sin A
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