3.2　简单的三角恒等变换

3.2简单的三角恒等变换【选题明细表】 知识点、方法题号化简求值1,2,3,4,13恒等式证明8简单应用5,6,7综合应用9,10,11,121.下列各式中,值为12的是(B)(A)sin 15cos 15(B)cos26-sin26(C)tan301-tan230 (D)1+cos602解析:选项A中,原式=12sin 30=14;选项B中,原式=cos 3=12;选项C中,原式=122tan301-tan230=12tan 60=32;选项D中,原式=cos 30=32.故选B.2.(2019泰安高一期末)已知cos =-15,523,那么sin 2等于(D)(A)105(B)-105(C)155(D)-155解析:因为523,所以54232,所以sin 20.由cos =1-2sin22,得sin 2=-1-cos2=-(1+15)12=-155.故选D.3.已知2sin =1+cos ,则tan 2等于(B)(A)12(B)12或不存在(C)2(D)2或不存在解析:2sin =1+cos ,即4sin 2cos 2=2cos22,当cos 2=0时,tan 2不存在,当cos 20时,tan 2=12.故选B.4.化简(sin 2+cos 2)2+2sin2(4-2)得(C)(A)2+sin (B)2+2sin(-4)(C)2 (D)2+2sin(+4)解析:原式=1+2sin 2cos 2+1-cos2(4-2)=2+sin -cos(2-)= 2+sin -sin =2.故选C.5.使函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)为奇函数的的一个值是(D)(A)6(B)3(C)2(D)23解析:f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)=2sin(2x+3+).当=23时,f(x)=2sin(2x+)=-2sin 2x是奇函数.故选D.6.函数f(x)=sin(2x-4)-22sin2x的最小正周期是.解析:f(x)=22sin 2x-22cos 2x-2(1-cos 2x)=22sin 2x+22cos 2x- 2=sin(2x+4)-2,所以T=22=.答案:7.若向量a=(2sin ,-1),b=(cos ,2sin2+m)(R),且ab,则m的最小值为.解析:因为a=(2sin ,-1),b=(cos ,2sin2+m)(R),且ab,所以2sin cos =2sin2+m,所以m=-2sin2 +2sin cos =cos 2+sin 2-1=2sin(2+4)-1,因为R,所以2sin(2+4)-2,2,所以m的最小值为-2-1.答案:-2-18.求证:1+sin4-cos42tan=1+sin4+cos41-tan2.证明:原式等价于1+sin 4-cos 4=2tan1-tan2(1+sin 4+cos 4),即1+sin 4-cos 4=tan 2(1+sin 4+cos 4)(*)而(*)式右边=tan 2(1+cos 4+sin 4)=sin2cos2(2cos22+2sin 2cos 2)=2sin 2cos 2+2sin22=sin 4+1-cos 4=左边,所以(*)式成立,原式得证.9.函数y=cos2(x-12)+sin2(x+12)-1(A)(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解析:y=1+cos(2x-6)2+1-cos(2x+6)2-1=12cos(2x-6)-cos(2x+6)=12sin 2x,是奇函数.故选A.10.(2019全国卷)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y= sin x+3cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.解析:y=sin x-3cos x=2sin(x-3),y=sin x+3cos x=2sin(x+3),y=2sin(x+3)的图象至少向右平移23个单位长度得到y=2sin(x+3-23) =2sin(x-3)的图象.答案:2311.关于函数f(x)=sin xcos x-cos2x,给出下列命题:f(x)的最小正周期为2;f(x)在区间(0,8)上为增函数;直线x=38是函数f(x)图象的一条对称轴;函数f(x)的图象可由函数f(x)=22sin 2x的图象向右平移8个单位得到;对任意xR,恒有f(4+x)+f(-x)=-1.其中正确命题的序号是.解析:f(x)=12sin 2x-1+cos2x2=22sin(2x-4)-12,显然错;x(0,8)时,2x-4(-4,0),函数f(x)为增函数,故正确;令2x-4=2+k,kZ得x=38+k2,kZ,显然x=38是函数f(x)图象的一条对称轴,故正确;f(x)=22sin 2x的图象向右平移8个单位得到y=22sin 2(x-8)=22sin(2x-4),故错;f(4+x)+f(-x)=22sin(2x+4)-12+22sin(-2x-4)-12=22sin(2x+4)-22sin (2x+4)-1=-1,故正确.答案:12.已知函数f(x)=sin(2-x)sin x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在6,23上的单调性.解:(1)f(x)=sin(2-x) sin x-3cos2x=cos x sin x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-32=sin(2x-3)-32,因此f(x)的最小正周期为,最大值为2-32.(2)当x6,23时,有02x-3,从而当02x-32,即6x512时,f(x)单调递增,当22x-3,即512x23时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在6,512上单调递增;在512,23上单调递减.13.(2019日照高一期末)若4,2,sin 2=378,则sin 等于(D)(A)35(B)45(