成都理工量子力学罗培燕ppt第二章波函数与薛定谔方程.ppt

量子力学导论 Introduction to Quantum mechanics,成都理工大学 2013年9月10月,课程内容,第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 基本原理 第四章 表象理论 第五章 中心力场,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释 2.2 薛定谔方程 2.3 定态薛定谔方程的求解,薛定谔方程的特解：,薛定谔方程的通解：,Cn的确定（利用初始状态波函数）：,求定态薛定谔方程：,得出：,分离变量法：, 2.3定态薛定谔方程的求解,一维定态问题的求解 1、一维无限深平底势阱 2、一维有限深势阱 3、势垒贯穿,1、一维无限深平底势阱,a 一维无限深势阱的求解,求解 S 方程 分四步： 列出各势域的一维定态S方程 解方程 使用波函数边界条件定解 定归一化系数,1、一维无限深平底势阱,列出各势域的一维定态S方程,1、一维无限深平底势阱,解方程、使用波函数边界条件定解,当x -，有限，C2=0。,从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是(-a) = (a) = 0,1、一维无限深平底势阱,使用波函数边界条件定解,波函数连续,1、一维无限深平底势阱,定归一化系数,1、一维无限深平底势阱,定归一化系数,1、一维无限深平底势阱,一维无限深势阱中粒子的能量与定态波函数为：,对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱，基态（n=1），激发态（n1)。,1、一维无限深平底势阱,b 物理意义 能量离散,基态能量不为0,相邻能级间隔,波函数,波函数交替为偶、奇函数，随能量升高，与x轴交点越来越多,与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没 有意义的。,n取负整数与正整数描写同一状态。 波函数取实数。,1、一维无限深平底势阱,c 定态波函数的性质 定态波函数的正交归一,定态波函数的完备性,任一函数(x)可用定态波函数的线性组合表示出来：,1、一维无限深平底势阱,d 通解 无限深势阱中，薛定谔方程的特解为：,无限深势阱中，薛定谔方程的通解为：,1、一维无限深平底势阱,d 通解 系数Cn,由初始波函数,2、一维有限深势阱,-a a,三个区域的 Schrodinger 方程可写为：,II,V0 0 情况,2、一维有限深势阱,A 方程求解,V0 E0情况,当x时，波函数有限。A=0,C=0,2、一维有限深势阱,A 方程求解,偶宇称态,2、一维有限深势阱,A 方程求解,奇宇称态,2、一维有限深势阱,B 物理意义 能量 （能级） 能级为有限个分立值，至少有一个，能级总数为 波函数 无论能量大小，粒子在全空间都有出现。,3、势垒贯穿,势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下：,现在的问题是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。,3、势垒贯穿,A 方程求解,三个区域的 Schrodinger 方程可写为：,0 V0 情况,3、势垒贯穿,A 方程求解,0E V0 情况,式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波。,利用波函数连续、波函数导数连续确定各参数。,3、势垒贯穿,B 反射系数与投射系数,为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。,透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数 JD/JA,反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数 JR/JA,其物理意义是：描述贯穿到 x a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂 直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 的 I 区）在 单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比。,3、势垒贯穿,B 反射系数与投射系数,说明入射粒子一部分贯穿势垒到 xa 的III区，另一部分则被势垒反射回来。,入射波+反射波,透射波,隧道效应,粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比