平面上曲线积分与路径无关的条.ppt

2019年7月10日星期三,1,9.6 平面上曲线积分与路线无关的条件,第九章,一、平面曲线积分与路线无关的条件,二、原函数计算举例,三、小结与思考练习,2019年7月10日星期三,2,在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到, 在一个例子中, 以 A 为起点B 为,终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分值也,不同, 但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终,点有关, 与路线的选取无关. 本节将讨论曲线积分在,什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.,2019年7月10日星期三,3,一、平面曲线积分与路线无关的条件,B,A,如果在区域G内有,1. 曲线积分与路线无关的定义,2019年7月10日星期三,4,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,即在 D 内有,(iv) 在 D 内处处成立,定理1 设 D 是单连通区域. 若函数,在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以,下四个条件两两等价:,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,2019年7月10日星期三,5,由上述证明可看到二元函数,具有性质,二、原函数计算举例,2019年7月10日星期三,6,2019年7月10日星期三,7,2019年7月10日星期三,8,2019年7月10日星期三,9,2019年7月10日星期三,10,2019年7月10日星期三,11,例3 计算曲线积分,解 由于,2019年7月10日星期三,12,2019年7月10日星期三,13,解,2019年7月10日星期三,14,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,内容小结,2019年7月10日星期三,15,作业,习 题 9-6 P221 2(2);3(2);,2019年7月10日星期三,16,思考与练习,解:,2019年7月10日星期三,17,2. 试应用曲线积分求,的原函数.,解 这里,在整个平面上成立,由定理1, 曲线积分,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,线段 于是有,2019年7月10日星期三,18,A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得,所以,2019年7月10日星期三,19,D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分,则函数,对于 x 的偏增量(图21-20).,2019年7月10日星期三,20,因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以,值定理可得,2019年7月10日星期三,21,一点处都有,以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每,2019年7月10日星期三,22,条件, 就得到,上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了,它们是相互等价的.,2019年7月10日星期三,23,例,解,应用定理1 中的条件(iv)考察2 中的两个例子,2019年7月10日星期三,24,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,2019年7月10日星期三,25,例,解,2019年7月10日星期三,26,2019年7月10日星期三,27,问题：被积函数相同，起点