平面向量数量积(1).ppt

平面向量的数量积 及运算律,江苏沭阳县怀明中学 李冰,物理上力所做的功实际上是将力分解，只有在位移方向上的力做功,思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s， 且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的 功W是多少？,W = |F|s|cos,其中|F|cos是F在物体位移方向上的分量的数量。,思考2： 功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定， 数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.,模仿力做功公式，我们定义向量的数量积的运算. 一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？,W = |F|s|cos,向量的夹角范围：,(一)向量的夹角,O,向量的夹角注意点,1.在两向量的夹角的定义中，两向量 必须是同起点,当时，a与b同向,当时，a与b反向,2. , ,(二)平面向量的数量积的定义,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,（1）向量数量积是一个数量，而不是向量，其值的符号 由夹角决定：,（3） a b不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算,（2）向量数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、 性质并不一定成立,当,/2)时, a . b,当(/,时, a . b,当=/2, a . b=0,例题讲解,例已知|a |=2, |b |=3分别在下列条件下求a b.,解： （1）a b =|a | |b |cos,（1）1350（2）a b(3)ab,=23cos1350,（2）当a与b同向时， a b=23=6,当a与b反向时， a b =2 3= 6,（3） a b = |a | |b |cos = 23cos 900 = 0,1. 已知 | p | =8, | q |=6, 向量p 和 q 的夹角是 60, 求 p q. 2. 设| a |=12, | b |=9, a b = 54 , 求 a 与b 之间的夹角。 3 . 已知 |a| =4,为单位向量,它们的夹角为1200 ， 求 a ,学生练习,=58 x (-1/2) = - 20,解：,A,B,C,学生练习,讨论性质：,（1）ab a b=0 (判断两非零向量a、 b垂直的依据),（2）当a 与b 同向时，a b = | a | | b |， 当a 与b 反向时，a b = - | a | | b | 特别地,（3）,（4）a b | a | | b |,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,（5）运算率,辨析题:,2）若a0,且a b=a c,则b=c.,5）若 |a b|a| |b|， 则ab.,例题讲解,0 b=0,若a b=0，则a b中至少有一个为 0,若a b = a c ,则bc,当且仅当a = 0 时成立,6）对任意向量 a 有,3）(a b) c=a (b c).,数量积不满足结合律,数量积不满足消去律,已知 | a | =4, | b |=6, 向量a 和b的夹角是 60, 求 a . (a+b) , (2a-b) . (a+3b) 的值,已知 | a | =2, | b |=3, 向量a 和b的夹角是 120,求 |a+b| 的值,已知 | a | = | b | = 1, |3a - 2b| =3，求 |3a+b|的值,例题讲解,学生练习,学生练习,性质：,（1）ab a b=0 (判断两非零向量a、 b垂直的依据),（2）当a 与b 同向时，a b = | a | | b |， 当a 与b 反向时，a b = - | a | | b | 特别地,（3