平面向量的数量积(25).ppt

2.4平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,如图一个力F作用于一个物体上，使该物体位移S， 如何计算这个力所做的功？W=|S|F|cos.,如何从数学的角度来理解这个公式呢？ (1)的意义是什么？ (2)|F|cos的意义是什么？ (3)|S|cos 的意义是什么？,向量的数量积,已知两个非零向量a与b，我们把数列|a|b|cos 叫做a与b的数量积（或内积）， 记作ab=|a|b|cos，其中是a与b的夹角， |b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.,向量的数量积,规定，零向量与任一向量的数量积为0. 数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.,数量积的性质,向量的数量积是一个数量， 那么它什么时候为正？什么时候为负？,数量积的性质,ab ab=0； 当a与b同向时，ab=|a|b|； 当a与b反向时，ab=-|a|b|， 特别地，aa=|a|2； | ab|a|b|.,已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab. 解：ab=|a|b|cos=54cos120=-10.,数量积的运算律,（1）ab= ba； （2）(a)b=( ab)=a(b)； （3）(a+b)c=ac+bc,对于任意向量a，b，证明： （1）(a+b)2=a2+2 ab+b2； （2）(a+b)(a-b)=a2-b2.,证明：（1）(a+b)2=(a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a2+2ab+b2； （2）(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.,判断下列说法是否正确： 若a=0，则对于任一向量b，有ab=0. 若a0，则对任一非零向量b，有ab0.,（ ）,（ ）,若a0，ab=0，则b=0. 若ab=0，则a，b至少有一个为零. 若a0，ab=ac，则b=c.,（ ）,（ ）,（ ）,若ab=ac，则b=c，当且仅当a0时成立. 对任意向量a、b、c，有(ab) ca(bc). 对任意向量a，有a2=|a|2.,（ ）,（ ）,（ ）,已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60， 求(a+2b)(a-3b). 解：(a+2b) (a-3b)=aa-ab-6bb =|a|2-ab-6|b|2 =|a|2-|a|b|cos-6|b|2 =-72.,已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？ 解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb) (a-kb)=0, 即a2-k2b2=0， a2=32=9，b2=42=16, 9-16k2=9，k=,向量|a|=6，a与b的夹角为120，求a在b方向上的投影. 答案：-3 已知|a|=8，|b|=6，a和b的夹角是60，求ab. 答案：24,已知|a|=2，|b|=4，ka+b与ka-b垂直，求实数k的值. 解：(ka+b) (ka-b)=0 k2a2-b2=0 k2|a|2-|b|2=0 4k2-16=0 k=2.,1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义； 2 平面向量数量积的运算律.,习题2.4 A组 1、2、3、6、7.,2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角,1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义 ab=|a|b|cos，其中是a与b的夹角； 数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.,2 平面向量数量积的运算律. （1）ab= ba； （2）(a)b=( ab)=a(b)； （3）(a+b)c=ac+bc,平面向量数量积的坐标表示,已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 怎样用a与b的坐标表示ab？,平面向量数量积的坐标表示, a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2 又 ii=1，jj=1，ij=ji=0 ab=x1x2+y1y2 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.,向量的模,如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么,向量的夹角,设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，是a与b的夹角，则,已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求ab，|a|，|b|，a与b的夹角.,解：,已知a=(-3,5)，b=(2,-3)，若a+kb与2a+3b垂直， 求k的值.,已知a=(1,2)，b=(2,-2)，求|a|，|b|以及a与b的