必修2-第一章空间几何体-132球的体积和表面积.ppt

,球的体积和表面积,20102011学年度高一数学必修1（人教A版）,济宁育才中学高一数学组 朱继哲,教学目标：,1.熟记球的体积公式和表面积公式； 2.会用球的体积公式,和表面积公式,解决有关问题。,提出问题：,1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？,2、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？,1探究球的体积公式,回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。,构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页),设球的体积为V,则有:,球的体积,O.,已知球的半径为R,问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.,定理:半径是R的球的体积,2. 探究球的表面积公式,设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用,表示,以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积.,可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R近似地等于小棱锥的高,因此，第i 个小棱锥的体积,当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:,又因为 ，且,可得:,又因为,所以:,所以球的表面积:,例1.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.,解:设截面圆心为O,连结OA, 设球半径为R .则:,在 中，, ，,例2半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ,求球的表面积和体积。,解：作轴截面如图所示，,设球半径为R ,则:,例3表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。,解：设球半径为R ,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图，,又,例4. (P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 ， (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。,证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。.,因为,所以,(2) 因为,，所以,完成P28练习1,2,3题,补充练习：,1三个球的半径之比为 那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；,2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；,3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；,4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ,5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比,答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ,5 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次 为 , , ., 三个球的表面积之比是,小结归纳 ：,1、球的表面积公式的推导及应用； 2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算,“分割 求近似和 化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分