【高考辅导资料】2009年高考第二轮热点专题复习：导数

2009年高考第二轮热点专题复习：导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。考点扫描：导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。考题先知：例1设函数，其中实数A、B、C满足：； 。 （1）求证：； （2）设，求证：。证明：（1）由得：，又，所以，（2）当时，等价于当时，所以只须证明当时，由知：且，所以为开口向上的抛物线，其对称轴方程，又由得：，即，所以，当时，有=，所以为0，2上的增函数。因此，当时，有，即当时，。 评注：本题以一元三次函数为载体，以导数作为工具，进一步研究函数性质、代数式变形、解析几何和不等式证明等数学问题，对于这些题目，导数仅仅是背景，核心还是初等数学的变化技巧。例2 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且。 () 求的表达式；（）设，若对任意的, 不等式恒成立，求实数的最小值。 解析：() 因为在区间上单调递增，在区间单调递减，所以方程的两根满足。由，得，所以，而，故，则，从而。故（）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间上，。当时，所以在区间上单调递减，从而在区间上，则由，解得或，结合，可得实数的最小值为。复习智略：例3(1)已知，试求函数的最小值； （2）若，求证：。分析：求函数最值的常见方法是通过求导，确定函数的单调区间，从而求出其最值。解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，函数是递减函数；当时，函数是递增函数；所以当时，函数。（2）由第（1）题得：从而，三式相加得：变化：由（1）知：，从而，三式相加，结合得：。 联想：在三角函数中，有公式，因此，若，且，则。类比：若，则检测评估：1.如果f (x)是二次函数, 且 f (x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是( )A. (0, ) B. 0, , C. 0, , D. ,2已知函数在R上可导，且，则与的大小关系是 A=BD不能确定（ ）3已知函数在R上可导，当时，且当，时有，若，则不等式解集为（ ） ABCD4若函数是导函数的单调递减区间是（ ）A1，0BC1，D5 设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为 ( )A 0B 1C D 6已知，方程在区间内根的个数是 .7. 已知曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为,则 . 8已知函数是R上的奇函数，当时取得极值，则的单调区间是 ；9若方程在上有解，则实数的取值范围是 。10已知函数在R上为减函数，则的取值范围是 11已知，点A(s,f(s), B(t,f(t) (I) 若,求函数的单调递增区间； (II)若函数的导函数满足：当|x|1时，有|恒成立，求函数的解析表达式；(III)若0a，故选C。3解：因当时，所以在上单调递增；因当，时有，所以为偶函数，原不等式可化为，即，得，故选C。4解：由得，即当时，函数单调递增，又是单调递减的，所以当，即1，时单调递减，故选C。5解。fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1故选D。6解：记，由得，所以当时，在区间上单调递减，又，故原方程在区间内有且只有一根。7解：过点处的切线是，与轴交点为，与直线的交点为，所以围成的三角形的面积=，得。 8解：为R上的奇函数，即，d=0.，.当x=1时，取得极值. 解得：.，令，则或，令，则.的单调递增区间为和，单调递减区间为.9解：记，因得，所以在上，当时，函数有极小值，且在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，又，所以当，即当时，方程在1，2上有一解，当，即当0，2时，方程在0，1上有一解，综上所述，当时，原方程在上有解。10。解：由在R上恒成立得，从而。11.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因为f(x)单调递增，所以(x)0，即 3x2-4x+10,解得，x1, 或x,故f(x)的增区间是(-，)和1,+ . (II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 当x-1，1时，恒有|(x)|. 故有(1)， (-1)，(0), 即 +，得ab，又由，得ab=，将上式代回和，得 a+b=0,故f(x)=x3x. (III) 假设, 即= = st+f(s)f(t)=0, (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, st-(s+t)a+a2st-(s+t)b+b2=-1, 由s，t为(x)=0的两根可得， s+t=(a+b), st=, (0