2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-浙江卷.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）“”是“”的（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件（2）若函数，（其中）的最小正周期是，且，则（a） （b） （c） （d）（3）直线关于直线对称的直线方程是（a） （b） （c） （d）（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水。假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（a）3 （b）4 （c）5 （d）6（5）已知随机变量服从正态分布，则（a）0.16 （b）0.32 （c）0.68 （d）0.84（6）若p是两条异面直线外的任意一点，则（a）过点p有且仅有一条直线与都平行 （b）过点p有且仅有一条直线与都垂直（c）过点p有且仅有一条直线与都相交 （d）过点p有且仅有一条直线与都异面（7）若非零向量、满足，则（a） （b） （c） （d）（8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，p是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（a） （b） （c）2 （d）3（10）设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（a） （b） （c） （d）二填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。（11）已知复数，则复数_。（12）已知，且，则的值是_。（13）不等式的解集是_。（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张有10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是_（用数字作答）(15) 随机变量的分布列如下：-101其中成等差数列。若，则的值是_。（16）已知点o在二面角的棱上，点p在内，且。若对于内异于o的任意一点q，都有，则二面角的大小是_。（17）设为实数，若，则的取值范围是_。二解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（18）（本题14分）已知的周长为，且（）求边ab的长；（）若的面积为，求角c的度数。 （19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面abc，平面abc，m是ab的中点。（）求证：；（）求cm与平面cde所成的角。（20）（本题14分）如图，直线与椭圆交于a、b两点，记的面积为s 。（）求在，的条件下，s的最大值；（）当时，求直线ab的方程。（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（）求；（）求数列的前项的和；（）记，求证：（22）（本题15分）设，对任意实数，记（）求函数的单调区间；（）求证：（）当时，对任意正实数成立； （）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分（1）a（2）d（3）d（4）b（5）a（6）b（7）c（8）d（9）b（10）c二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分28分（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）三、解答题（18）解：（i）由题意及正弦定理，得，两式相减，得（ii）由的面积，得，由余弦定理，得，所以（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分方法一：（i）证明：因为，是的中点，所以又平面，所以（ii）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，是直线和平面所成的角因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此设，在直角梯形中，是的中点，所以，得是直角三角形，其中，所以在中，所以，故与平面所成的角是方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，（i）证明：因为，所以，故（ii）解：设向量与平面垂直，则，即，因为，所以，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最大值（）解：由得， 设到的距离为，则，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或21本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力满分15分（i）解：方程的两个根为，当时，所以；当时，所以；当时，所以时；当时，所以（ii）解：（iii）证明：，所以，当时，同时，综上，当时，22本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分15分（i）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（ii）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关